Probabilità di vincere all’Eurojackpot

L’Eurojackpot è una lotteria a numeri simile al lotto 6 su 49, a cui partecipano diversi paesi europei. Il jackpot minimo garantito dell’Eurojackpot è di dieci milioni di euro, mentre il massimo possibile è di 120 milioni di euro. Le regole sono simili a quelle del lotto 6 su 49.

Regole

Lo scopo della lotteria è indovinare cinque numeri estratti su 50 possibili e, in più, indovinare due numeri aggiuntivi su 12. Se indovini tutti e sette i numeri estratti, puoi aspettarti il primo premio, l’Eurojackpot. Se ne indovini meno, puoi aspettarti i premi delle categorie inferiori.

Probabilità di vincere all’Eurojackpot

Ma che probabilità hai di vincere? Cominciamo calcolando quante combinazioni possibili possono essere estratte in tutto. Sappiamo che nessun numero può essere estratto due volte e che non conta l’ordine in cui i numeri sono stati estratti. Questo ci dice che per il calcolo non possiamo usare le disposizioni, ma dobbiamo usare le combinazioni. Ci chiediamo quindi quante cinquine diverse possono essere estratte dai 50 numeri possibili. Lo scriviamo con il coefficiente binomiale così:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})$$

La formula con cui si calcola questo coefficiente binomiale è la seguente:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

dove il punto esclamativo indica il fattoriale. Sostituendo i valori otteniamo:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})=\frac{50!}{(50-5)!\cdot 5!}=\frac{50!}{45!\cdot 5!}$$

Sfruttiamo le proprietà del fattoriale e scriviamo esplicitamente il numeratore:

$$\frac{50!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}$$

Vediamo che sia al numeratore sia al denominatore abbiamo 45!. Possiamo quindi semplificare l’intera frazione proprio per 45!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5!}$$

Scriviamo esplicitamente 5!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}$$

Moltiplichiamo tutto:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\frac{254251200}{120}$$

E ora non resta che dividere:

$$\frac{254251200}{120}=2118760$$

Esistono quindi in tutto 2.118.760 cinquine diverse che possiamo estrarre dai cinquanta numeri. La probabilità di indovinare esattamente una cinquina estratta, indichiamola con P₁, è il reciproco di questo numero, cioè

$$P_1=\frac{1}{2118760}$$

Ora dobbiamo calcolare quante coppie diverse si possono estrarre da 12 numeri, per poter calcolare la probabilità di centrare anche i numeri aggiuntivi. Possiamo scriverlo di nuovo come coefficiente binomiale:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})$$

Questa volta saltiamo il procedimento e otteniamo che

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})=66$$

Esistono quindi 66 coppie diverse. La probabilità, indichiamola con P₂, di indovinare la coppia estratta è

$$P_2=\frac{1}{66}$$

La probabilità complessiva P di vincere il primo premio dell’Eurojackpot si ottiene moltiplicando tra loro queste due probabilità:

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2118760}\cdot \frac{1}{66}=\frac{1}{139838160}$$

La probabilità di vincere il primo premio dell’Eurojackpot è di 1 su 139.838.160. Per farci un’idea, in un paese con poco più di dieci milioni di abitanti, per essere certi che qualcuno vinca, ogni abitante dovrebbe comprare 14 biglietti diversi. Dopo l’estrazione sarebbe certo che uno dei biglietti del paese è quello vincente.