Probabilidade de ganhar no Eurojackpot

O Eurojackpot é uma loteria de números europeia, da qual participam vários países. O valor mínimo garantido do Eurojackpot é de dez milhões de euros, e o valor máximo possível é de 120 milhões de euros. As regras são parecidas com as de uma loteria 6 de 49.

Regras

O objetivo da loteria é acertar cinco números sorteados entre 50 números possíveis e, além disso, acertar mais dois números adicionais entre 12 números. Se você acertar todos os sete números sorteados, pode comemorar o prêmio principal, o Eurojackpot. Se acertar menos números, pode comemorar prêmios nas faixas seguintes. Uma curiosidade é que em 2015 alguém na República Tcheca ganhou o prêmio principal do Eurojackpot, um prêmio recorde de 2,466 bilhões de coroas tchecas.

Probabilidade de ganhar no Eurojackpot

Mas qual é a sua chance de ganhar? Começamos calculando quantas combinações possíveis existem, ao todo, que podem ser sorteadas. Sabemos que nenhum número pode ser sorteado duas vezes e que não importa a ordem em que os números foram sorteados. Isso nos diz que não podemos usar arranjos no cálculo, mas precisamos usar combinações. Perguntamos, portanto, quantos quintetos diferentes podem ser sorteados entre 50 números possíveis. Escrevemos isso com o número binomial assim:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})$$

A fórmula com a qual esse número binomial pode ser calculado é esta:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

em que o ponto de exclamação indica o fatorial. Substituindo os valores, obtemos:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})=\frac{50!}{(50-5)!\cdot 5!}=\frac{50!}{45!\cdot 5!}$$

Usamos as propriedades do fatorial e desenvolvemos o numerador:

$$\frac{50!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}$$

Vemos que tanto no numerador quanto no denominador temos 45!. Podemos, então, simplificar toda a fração justamente por 45!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5!}$$

Desenvolvemos 5!:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}$$

Multiplicamos tudo:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\frac{254251200}{120}$$

E agora é só dividir:

$$\frac{254251200}{120}=2118760$$

Existem, assim, 2.118.760 quintetos diferentes que podemos sortear entre cinquenta números diferentes. A probabilidade de acertarmos exatamente um quinteto sorteado, que vamos chamar de P₁, é o inverso desse número, isto é,

$$P_1=\frac{1}{2118760}$$

Agora precisamos calcular quantos pares diferentes podem ser sorteados entre 12 números, para podermos calcular a probabilidade de acertar também os números adicionais. Podemos escrever isso novamente como número binomial:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})$$

Desta vez vamos pular as contas: podemos usar a calculadora de número binomial e ver que

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})=66$$

Existem, portanto, 66 pares diferentes. A probabilidade, que vamos chamar de P₂, de acertarmos o par sorteado corretamente é

$$P_2=\frac{1}{66}$$

Obtemos a probabilidade total P de ganhar o prêmio principal do Eurojackpot multiplicando essas duas probabilidades:

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2118760}\cdot \frac{1}{66}=\frac{1}{139838160}$$

A chance de ganharmos o prêmio principal do Eurojackpot é de 1 em 139.838.160. Para ilustrar: a cidade de São Paulo tem cerca de onze milhões e meio de habitantes. Para ter certeza de que alguém da cidade ganharia, cada habitante de São Paulo precisaria comprar 13 bilhetes únicos. Depois do sorteio, seria certo que um dos bilhetes da cidade seria o premiado.