Eurojackpot Kazanma Olasılığı

Eurojackpot, 6/49’luk lotoya benzer bir sayısal piyangodur ve birkaç Avrupa ülkesi bu oyuna katılır. Eurojackpot’un garanti edilen en düşük tutarı on milyon euro, çıkabilecek en yüksek tutarı ise 120 milyon euro’dur. Kurallar, 6/49’luk lotonun kurallarına benzer.

Kurallar

Oyunun amacı, 50 sayı arasından çekilen beş sayıyı bilmek ve bunun yanında 12 sayı arasından çekilen iki ek sayıyı da bilmektir. Çekilen yedi sayının hepsini bilirsen büyük ikramiye olan Eurojackpot’u kazanırsın. Daha az sayı bilirsen alt ikramiye kategorilerinde kazanç elde edebilirsin. İlginç bir bilgi: 2015 yılında Çekya’da biri büyük Eurojackpot ikramiyesini kazandı. Bu, yaklaşık 90 milyon euroluk rekor bir kazançtı.

Eurojackpot’ta Kazanma Olasılığı

Peki kazanma şansın nedir? Önce çekilebilecek tüm olası kombinasyonların sayısını hesaplayalım. Hiçbir sayı iki kez çekilemez ve sayıların çekilme sırası önemli değildir. Bu yüzden permütasyonları kullanamayız, kombinasyonları kullanmamız gerekir. Yani 50 sayı arasından çekilebilecek kaç farklı beşli olduğunu soruyoruz. Bunu binom katsayısıyla şöyle yazarız:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})$$

Bu binom katsayısı şu formülle hesaplanır:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

Buradaki ünlem işareti faktöriyel anlamına gelir. Değerleri yerine yazarsak:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})=\frac{50!}{(50-5)!\cdot 5!}=\frac{50!}{45!\cdot 5!}$$

Faktöriyelin özelliğinden yararlanıp payı açarak yazalım:

$$\frac{50!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}$$

Kesrin hem payında hem paydasında 45! var. Bu yüzden kesri tam olarak 45! ile sadeleştirebiliriz:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5!}$$

5! ifadesini açalım:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}$$

Hepsini çarpalım:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\frac{254251200}{120}$$

Şimdi sadece bölmemiz kaldı:

$$\frac{254251200}{120}=2118760$$

Yani 50 farklı sayı arasından çekilebilecek toplam 2.118.760 farklı beşli vardır. Çekilen beşliyi tam olarak bilme olasılığına P₁ diyelim; bu, yukarıdaki sayının çarpmaya göre tersidir:

$$P_1=\frac{1}{2118760}$$

Şimdi ek sayıları da bilme olasılığını hesaplamak için 12 sayı arasından çekilebilecek kaç farklı ikili olduğunu bulmamız gerekir. Bunu da yine binom katsayısı olarak yazabiliriz:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})$$

Bu kez işlemleri atlıyoruz ve sonucun şu olduğunu söylüyoruz:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})=66$$

Yani 66 farklı ikili vardır. Çekilen ikiliyi doğru bilme olasılığına P₂ dersek:

$$P_2=\frac{1}{66}$$

Eurojackpot büyük ikramiyesini kazanma olasılığı olan P’yi, bu iki olasılığı çarparak buluruz:

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2118760}\cdot \frac{1}{66}=\frac{1}{139838160}$$

Eurojackpot büyük ikramiyesini kazanma şansı 139.838.160’ta 1’dir. Bir fikir vermesi için: Çekya’da on milyonun biraz üzerinde insan yaşıyor. Çekya’dan birinin kesinlikle kazanması için Çekya’daki herkesin 13 farklı bilet alması gerekirdi. Böylece çekilişten sonra kazanan biletin Çekya’dan çıkacağı kesin olurdu.