Sandsynligheden for at vinde i Eurojackpot

Eurojackpot er et tallotteri, der ligner lotto 6 ud af 49, og som flere europæiske lande deltager i. Den garanterede minimumsjackpot i Eurojackpot er ti millioner euro, og den størst mulige jackpot er 120 millioner euro. Reglerne ligner dem i lotto 6 ud af 49.

Regler

Brændende penge

Målet med lotteriet er at gætte fem trukne tal ud af 50 mulige tal og desuden at gætte to yderligere stjernetal ud af 12 tal. Hvis du gætter alle syv trukne tal, kan du glæde dig til hovedgevinsten, Eurojackpot. Hvis du gætter færre tal, kan du glæde dig til gevinster i de følgende gevinstrækker. Det er interessant, at nogen i Tjekkiet i 2015 vandt hovedgevinsten i Eurojackpot; det var en rekordgevinst på 2,466 milliarder tjekkiske kroner.

Sandsynligheden for at vinde i Eurojackpot

Men hvad er din chance for at vinde? Vi starter med at beregne, hvor mange kombinationer der overhovedet findes, og som kan blive trukket. Vi ved, at intet tal kan blive trukket to gange, og at rækkefølgen, som tallene blev trukket i, er ligegyldig. Det fortæller os, at vi ikke kan bruge ordnede udvælgelser, men må bruge kombinationer. Vi spørger altså, hvor mange forskellige kombinationer af fem tal der kan blive trukket ud af 50 mulige tal. Det skriver vi med en binomialkoefficient på denne måde:

$(\binom{50}{5})$

Formlen, som binomialkoefficienten kan beregnes med, ser sådan ud:

$(\binom{n}{r}) = \frac{n!}{(n - r)! \cdot r!}$

hvor udråbstegnet betyder fakultet. Når vi indsætter værdierne, får vi:

$(\binom{50}{5}) = \frac{50!}{(50 - 5)! \cdot 5!} = \frac{50!}{45! \cdot 5!}$

Vi udnytter fakultetets egenskaber og skriver tælleren ud:

$\frac{50!}{45! \cdot 5!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45!}{45! \cdot 5!}$

Vi ser, at vi har 45! både i tælleren og i nævneren. Vi kan altså forkorte hele brøken med netop 45!:

$\frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45!}{45! \cdot 5!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}{5!}$

Vi skriver 5! ud:

$\frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45!}{45! \cdot 5!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}$

Vi ganger det hele sammen:

$\frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{254.251 .200}{120}$

Og nu mangler vi bare at dividere:

$\frac{254.251 .200}{120} = 2.118 .760$

Der findes altså i alt 2.118.760 forskellige kombinationer af fem tal, som vi kan trække ud af halvtreds forskellige tal. Sandsynligheden for, at vi gætter netop den ene trukne kombination af fem tal, lad os kalde den P₁, er den omvendte værdi, dvs.

$P_{1} = \frac{1}{2.118 .760}$

Nu skal vi beregne, hvor mange forskellige par der kan trækkes ud af 12 tal, så vi kan beregne sandsynligheden for, at vi også rammer stjernetallene. Det kan vi igen skrive som en binomialkoefficient:

$(\binom{12}{2})$

Udregningen springer vi denne gang over – vi kan bruge beregneren til binomialkoefficienter og får, at

$(\binom{12}{2}) = 66$

Der findes altså 66 forskellige par. Sandsynligheden, lad os kalde den P₂, for at vi rammer det rigtigt trukne par, er

$P_{2} = \frac{1}{66}$

Den samlede sandsynlighed P for hovedgevinsten i Eurojackpot får vi ved at gange de to sandsynligheder:

$P = P_{1} \cdot P_{2} = \frac{1}{2.118 .760} \cdot \frac{1}{66} = \frac{1}{139.838 .160}$

Chancen for, at vi vinder hovedgevinsten i Eurojackpot, er 1 til 139.838.160. For at give et billede: I Tjekkiet bor der lidt over ti millioner mennesker. For at det var sikkert, at nogen fra Tjekkiet vandt, skulle hver indbygger i Tjekkiet købe 13 unikke lodsedler. Efter trækningen ville det så være sikkert, at en af lodsedlerne fra Tjekkiet var den vindende.

Kapitler: Sandsynlighed, Komplementærhændelse, Binomialfordeling, Betinget sandsynlighed, Sandsynligheden for at vinde i lotto 6 ud af 49, Sandsynligheden for at vinde i Eurojackpot

« Forrige: Sandsynligheden for at vinde i lotto 6 ud af 49

Næste: Paradokser »