Ikke-transitive terninger

Forestil dig, at du har tre sekssidede terninger med vilkårlige tal på. Kan det mon lade sig gøre, at der på terning A oftere kommer et højere tal op end på terning B, at der på terning B oftere kommer et højere tal op end på terning C, og at der på terning C oftere kommer et højere tal op end på terning A?

Transitivitet

Transitivitet er et begreb fra binære relationer. Vi siger, at en relation R på M er transitiv, hvis det for alle a, b, c ∈ M gælder, at hvis (a, b) ∈ R og samtidig (b, c) ∈ R, så ligger også (a, c) i R.

For terningerne kunne vi have relationen »at være en bedre terning« i den forstand, at terning A er bedre end terning B, hvis der på terning A oftere kommer et højere tal op end på terning B. Transitiviteten ser så sådan ud: Hvis terning A er bedre end terning B, og samtidig terning B er bedre end terning C, så må terning A også være bedre end terning C. Er det rigtigt?

Vi prøver at finde et modeksempel, altså tre terninger, som er bedre end hinanden i en cyklus. Terning A skal være bedre end terning B, terning B skal være bedre end terning C, og terning C skal være bedre end terning A. Vi ser hele tiden kun på sekssidede terninger.

Eksempel

Et eksempel er disse tre terninger:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Hvad er sandsynligheden for, at der på terning A kommer et større tal op end på terning B? Der er i alt 36 forskellige par, som terningerne kan falde ud i. Hvis der på terning B kommer den første ener op, kommer der altid et større tal op på terning A. Det giver 6 par, hvor der på terning A kommer et højere tal op. Hvis der på B kommer den anden ener op, har vi yderligere 6 par, hvor der på A kommer et højere tal op. Hvis der kommer en af sekserne op, må der på A komme en af nierne op. Det er yderligere 4 muligheder. Hvis der kommer en af otterne op, må der på A komme en af nierne op. Igen 4 muligheder. I alt har vi 6 + 6 + 4 + 4 = 20 muligheder. Sandsynligheden for, at der på A kommer et højere tal op, er dermed 20/36 = 5/9, hvilket er cirka 56 %.

Nu B mod C. Hvis der på C kommer en af treerne op, må der på B komme en af sekserne eller en af otterne op. Det er i alt 2 · 4 = 8 muligheder. Hvis der kommer en femmer op, må der igen på B komme 6 eller 8 op, så der er igen 8 muligheder. Hvis der kommer en syver op, må der på B komme en otter op, det er 4 muligheder. I alt 8 + 8 + 4 = 20. Sandsynligheden er igen 5/9.

Til sidst C mod A. Hvis der på A kommer en toer op, er alt fra C højere. Det er 12 muligheder. Hvis der kommer en firer op, kan der på C komme 5 eller 7 op. Det er 8 muligheder. Hvis der kommer en nier op, har vi uheld. I alt giver det 12 + 8 = 20 muligheder, og vi får igen sandsynligheden 5/9.

Efrons terninger

Efrons terninger er endnu et eksempel på et sæt terninger, som ikke er transitive med hensyn til relationen at være en bedre terning. De har disse tal:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

Her gælder, at hver terning slår den næste terning med sandsynligheden 2/3. For eksempel vinder den over terning B, når der på terning A kommer en firer op. Når der kommer et nul op, taber den. Og på terning A kommer der en firer op med sandsynligheden 2/3. Tilsvarende gælder det for de øvrige terninger.

Der findes også andre varianter af Efrons terninger. Nogle har den samme gennemsnitlige værdi pr. kast (for eksempel kaster terning A i gennemsnit tallet 8/3, mens C har et højere gennemsnit, 10/3), og andre deler alle de naturlige tal fra 1 til 24 imellem sig.

Flere kilder

• Engelsk Wikipedia