Нетранзитивни зарове

Представи си, че имаш три шестстенни зара, на които има произволни числа. Може ли да се случи на зара A по-често да се пада по-високо число, отколкото на зара B, на зара B по-често да се пада по-високо число, отколкото на зара C, и на зара C по-често да се пада по-високо число, отколкото на зара A?

Транзитивност

Транзитивността е понятие от бинарните релации. Казваме, че релацията R в M е транзитивна, ако за всички a, b, c ∈ M е в сила, че ако (a; b) ∈ R и (b; c) ∈ R, то и (a; c) е в R.

При заровете бихме могли да имаме релацията „да си по-добър зар“ в смисъл, че зарът A е по-добър от зара B, ако на зара A по-често се пада по-високо число, отколкото на зара B. Тогава транзитивността ще изглежда така: ако зарът A е по-добър от зара B и зарът B е по-добър от зара C, то и зарът A трябва да е по-добър от зара C. Вярно ли е това?

Ще опитаме да намерим контрапример, т.е. такива три зара, които са циклично по-добри. Зарът A ще е по-добър от зара B, зарът B ще е по-добър от зара C и зарът C ще е по-добър от зара A. Разглеждаме винаги само шестстенни зарове.

Пример

Пример са тези три зара:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Каква е вероятността на зара A да се падне по-голямо число, отколкото на зара B? Заровете могат да паднат общо по 36 различни начина (двойки). Ако на зара B се падне първата единица, на зара A винаги се пада по-голямо число. Т.е. имаме 6 двойки, при които на зара A се пада по-високо число. Ако на B се падне втората единица, имаме още 6 двойки, при които на A се пада по-високо число. Ако се падне една от шестиците, на A трябва да се падне една от деветките. Това са още 4 възможности. Ако се падне една от осмиците, на A трябва да се падне една от деветките. Пак 4 възможности. Общо имаме 6 + 6 + 4 + 4 = 20 възможности. Вероятността на A да се падне по-високо число е така 20/36 = 5/9, което е приблизително 56%.

Сега B срещу C. Ако на C се падне една от тройките, на B трябва да се падне една от шестиците или една от осмиците. Това са общо 2 · 4 = 8 възможности. Ако се падне петица, на B отново трябва да се падне 6 или 8, така че пак 8 възможности. Ако се падне 7, на B трябва да се падне 8, 4 възможности. Общо 8 + 8 + 4 = 20. Вероятността пак е 5/9.

Накрая C срещу A. Ако на A се падне двойка, всичко от C е по-високо. Това са 12 възможности. Ако се падне четворка, на C може да се падне 5 или 7. Това са 8 възможности. Ако се падне деветка, нямаме късмет. Общо това прави 12 + 8 = 20 възможности и получаваме пак вероятност 5/9.

Зарове на Ефрон

Заровете на Ефрон са друг случай на набор от зарове, които не са транзитивни по отношение на релацията „да си по-добър зар“. Имат такива числа:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

При това е в сила, че зарът побеждава следващия зар винаги с вероятност 2/3. Например когато на зара A се падне четворка, той печели срещу зара B. Когато се падне нула, губи. А на зара A се пада четворка с вероятност 2/3. Подобно е и за останалите зарове.

Съществуват и други варианти на заровете на Ефрон. Такива, които имат една и съща средна стойност на хвърляне (например на зара A средно се пада числото 8/3, докато C има по-висока средна стойност, 10/3), или такива, които си разделят помежду си всички естествени числа от 1 до 24.

Допълнителни източници

• Английска Уикипедия