Dés non transitifs

Imagine trois dés à six faces portant des nombres quelconques. Peut-il arriver que, sur le dé A, un nombre plus élevé sorte plus souvent que sur le dé B, que sur le dé B un nombre plus élevé sorte plus souvent que sur le dé C, et que sur le dé C un nombre plus élevé sorte plus souvent que sur le dé A ?

Transitivité

La transitivité est une notion des relations binaires. On dit qu’une relation R sur M est transitive si, pour tous a, b, c ∈ M, lorsque (a ; b) ∈ R et (b ; c) ∈ R, alors (a ; c) est dans R.

Dans le cas des dés, on peut considérer la relation « être un meilleur dé » : le dé A est meilleur que le dé B si, sur A, un nombre plus élevé sort plus souvent que sur B. La transitivité s’écrit alors ainsi : si le dé A est meilleur que le dé B et que le dé B est meilleur que le dé C, alors le dé A doit être meilleur que le dé C. Est-ce vrai ?

Essayons de trouver un contre-exemple, c’est-à-dire trois dés qui soient cycliquement meilleurs : le dé A est meilleur que B, B est meilleur que C, et C est meilleur que A. On ne considère toujours que des dés à six faces.

Exemple

Voici trois dés qui conviennent :

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Quelle est la probabilité que, sur le dé A, sorte un nombre plus grand que sur le dé B ? Il existe 36 résultats différents pour la paire de faces. Si B affiche un premier un, alors A affiche toujours un nombre plus grand : cela fait 6 cas où A est plus grand. Si B affiche un second un, il y a 6 cas de plus où A est plus grand. Si B affiche un six, il faut que A affiche un neuf : cela fait 4 possibilités. Si B affiche un huit, il faut à nouveau que A affiche un neuf : encore 4 possibilités. Au total, on a 6 + 6 + 4 + 4 = 20 possibilités. La probabilité que A affiche le plus grand nombre est donc 20/36 = 5/9, soit environ 56 %.

Passons à B contre C. Si C affiche l’une des deux faces trois, il faut que B affiche un six ou un huit : cela fait 2 · 4 = 8 possibilités. Si C affiche un cinq, il faut à nouveau que B affiche un 6 ou un 8, donc encore 8 possibilités. Si C affiche un sept, il faut que B affiche un huit : 4 possibilités. Au total, 8 + 8 + 4 = 20. La probabilité est à nouveau 5/9.

Enfin, C contre A. Si A affiche un deux, toutes les faces de C sont plus grandes : cela fait 12 possibilités. Si A affiche un quatre, C doit afficher un 5 ou un 7 : cela fait 8 possibilités. Si A affiche un neuf, c’est le cas défavorable pour C. Au total, 12 + 8 = 20 possibilités, et l’on obtient à nouveau la probabilité 5/9.

Dés d’Efron

Les dés d’Efron forment un autre exemple d’ensemble de dés non transitifs pour la relation « être un meilleur dé ». Ils portent les nombres suivants :

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

On a alors que chaque dé bat le suivant avec la probabilité 2/3. Par exemple, lorsque A affiche un quatre, il l’emporte sur B ; lorsqu’il affiche un zéro, il perd. Et A affiche un quatre avec la probabilité 2/3. Il en va de même pour les autres dés.

Il existe aussi d’autres variantes des dés d’Efron : celles dont tous les dés ont la même moyenne par lancer (alors qu’ici, par exemple, le dé A donne en moyenne 8/3, tandis que C a une moyenne plus élevée, 10/3), et celles qui se partagent tous les entiers de 1 à 24.

Autres sources

• Wikipédia anglaise