Dadi non transitivi

Immagina di avere tre dadi a sei facce con numeri qualsiasi. Può succedere che sul dado A esca più spesso un numero più alto che sul dado B, sul dado B esca più spesso un numero più alto che sul dado C e sul dado C esca più spesso un numero più alto che sul dado A?

Transitività

La transitività è un concetto che viene dalle relazioni binarie. Diciamo che una relazione R su M è transitiva se, per ogni a, b, c ∈ M, da (a; b) ∈ R e allo stesso tempo (b; c) ∈ R segue che anche (a; c) appartiene a R.

Nel caso dei dadi potremmo considerare la relazione «essere un dado migliore» nel senso che il dado A è migliore del dado B se sul dado A esce più spesso un numero più alto che sul dado B. La transitività si presenta allora così: se il dado A è migliore del dado B e allo stesso tempo il dado B è migliore del dado C, allora anche il dado A deve essere migliore del dado C. È vero?

Proviamo a cercare un controesempio, cioè tre dadi che siano migliori uno dell’altro in modo ciclico. Il dado A sarà migliore del dado B, il dado B sarà migliore del dado C e il dado C sarà migliore del dado A. Consideriamo sempre solo dadi a sei facce.

Esempio

Un esempio sono questi tre dadi:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Qual è la probabilità che sul dado A esca un numero maggiore che sul dado B? In tutto ci sono 36 coppie diverse di risultati. Se sul dado B esce il primo uno, sul dado A esce sempre un numero maggiore. Abbiamo quindi 6 coppie in cui su A esce il numero più alto. Se su B esce il secondo uno, abbiamo altre 6 coppie in cui su A esce il numero più alto. Se esce uno dei due sei, su A deve uscire uno dei due nove. Sono altre 4 possibilità. Se esce uno dei due otto, su A deve uscire uno dei due nove. Di nuovo 4 possibilità. In tutto abbiamo 6 + 6 + 4 + 4 = 20 possibilità. La probabilità che su A esca il numero più alto è quindi 20/36 = 5/9, cioè circa 56%.

Ora B contro C. Se su C esce uno dei due tre, su B deve uscire uno dei due sei o uno dei due otto. In tutto sono 2 · 4 = 8 possibilità. Se esce il cinque, su B deve di nuovo uscire 6 oppure 8, quindi ancora 8 possibilità. Se esce il sette, su B deve uscire l’otto, 4 possibilità. In tutto 8 + 8 + 4 = 20. La probabilità è di nuovo 5/9.

Infine C contro A. Se su A esce il due, tutti i numeri di C sono più alti. Sono 12 possibilità. Se esce il quattro, su C può uscire 5 oppure 7. Sono 8 possibilità. Se esce il nove, non c’è niente da fare. In tutto sono 12 + 8 = 20 possibilità e otteniamo di nuovo la probabilità 5/9.

Dadi di Efron

I dadi di Efron sono un altro esempio di insieme di dadi che non sono transitivi rispetto alla relazione «essere un dado migliore». Hanno questi numeri:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

Vale che ogni dado batte il dado successivo sempre con probabilità 2/3. Per esempio, quando sul dado A esce il quattro, vince contro il dado B. Quando esce lo zero, perde. E sul dado A esce il quattro con probabilità 2/3. Lo stesso vale per gli altri dadi.

Esistono anche altre varianti dei dadi di Efron. Ci sono quelle in cui i dadi hanno lo stesso valore medio per lancio (per esempio il dado A dà in media 8/3, mentre C ha una media più alta, 10/3) e quelle in cui i dadi si dividono tra loro tutti i numeri naturali da 1 a 24.

Altre fonti

• Wikipedia in inglese