Epätransitiiviset nopat

Kuvittele, että sinulla on kolme kuusisivuista noppaa, joissa on mitkä tahansa luvut. Voiko käydä niin, että nopalla A tulee useammin suurempi luku kuin nopalla B, nopalla B tulee useammin suurempi luku kuin nopalla C ja nopalla C tulee useammin suurempi luku kuin nopalla A?

Transitiivisuus

Transitiivisuus on käsite binäärirelaatioista. Sanomme, että relaatio R joukossa M on transitiivinen, jos kaikilla a, b, c ∈ M pätee, että jos (a, b) ∈ R ja samalla (b, c) ∈ R, niin myös (a, c) kuuluu relaatioon R.

Noppien tapauksessa meillä voisi olla relaatio ”olla parempi noppa” siinä mielessä, että noppa A on parempi kuin noppa B, jos nopalla A tulee useammin suurempi luku kuin nopalla B. Silloin transitiivisuus näyttää tältä: jos noppa A on parempi kuin noppa B ja samalla noppa B on parempi kuin noppa C, niin myös noppa A:n on oltava parempi kuin noppa C. Onko se totta?

Yritämme löytää vastaesimerkin eli sellaiset kolme noppaa, jotka ovat syklisesti toisiaan parempia. Noppa A on parempi kuin noppa B, noppa B on parempi kuin noppa C ja noppa C on parempi kuin noppa A. Otamme huomioon aina vain kuusitahkoiset nopat.

Esimerkki

Esimerkkinä ovat nämä kolme noppaa:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Mikä on todennäköisyys, että nopalla A tulee suurempi luku kuin nopalla B? Eri pareja, joina nopat voivat tulla, on yhteensä 36. Jos nopalla B tulee ensimmäinen ykkönen, nopalla A tulee aina suurempi luku. Eli meillä on 6 paria, joissa nopalla A tulee suurempi luku. Jos nopalla B tulee toinen ykkönen, meillä on toiset 6 paria, joissa nopalla A tulee suurempi luku. Jos tulee jompikumpi kuutosista, nopalla A on tultava jompikumpi yhdeksiköistä. Se on vielä 4 mahdollisuutta. Jos tulee jompikumpi kahdeksikoista, nopalla A on tultava jompikumpi yhdeksiköistä. Taas 4 mahdollisuutta. Yhteensä meillä on 6 + 6 + 4 + 4 = 20 mahdollisuutta. Todennäköisyys, että nopalla A tulee suurempi luku, on siis 20/36 = 5/9, mikä on noin 56 %.

Nyt B vastaan C. Jos nopalla C tulee jokin kolmosista, nopalla B on tultava jokin kuutosista tai jokin kahdeksikoista. Se on yhteensä 2 · 4 = 8 mahdollisuutta. Jos tulee vitonen, nopalla B on taas tultava 6 tai 8, joten taas 8 mahdollisuutta. Jos tulee seitsemän, nopalla B on tultava kahdeksikko, 4 mahdollisuutta. Yhteensä 8 + 8 + 4 = 20. Todennäköisyys on taas 5/9.

Lopuksi C vastaan A. Jos nopalla A tulee kakkonen, kaikki C:n luvut ovat suurempia. Se on 12 mahdollisuutta. Jos tulee nelonen, nopalla C voi tulla 5 tai 7. Se on 8 mahdollisuutta. Jos tulee yhdeksän, meillä on huono tuuri. Yhteensä se tekee 12 + 8 = 20 mahdollisuutta, ja saamme taas todennäköisyyden 5/9.

Efronin nopat

Efronin nopat ovat toinen esimerkki noppasarjasta, joka ei ole transitiivinen relaation ”olla parempi noppa” suhteen. Niissä on tällaiset luvut:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

Niillä pätee, että noppa voittaa seuraavan nopan aina todennäköisyydellä 2/3. Esimerkiksi kun nopalla A tulee nelonen, se voittaa nopan B. Kun tulee nolla, se häviää. Ja nopalla A tulee nelonen todennäköisyydellä 2/3. Samoin muille nopille.

Efronin nopista on olemassa myös muita muunnelmia. Sellaisia, joilla on sama keskiarvo yhdellä heitolla (esimerkiksi nopalla A tulee keskimäärin luku 8/3, kun taas C:llä keskiarvo on suurempi, 10/3) tai sellaisia, jotka jakavat keskenään kaikki positiiviset kokonaisluvut 1:stä 24:ään.

Lisälähteitä

• Wikipedia