Nemtranzitív dobókockák

Képzeld el, hogy van három hatoldalú dobókockád, amelyeken tetszőleges számok állnak. Előfordulhat, hogy az A kockával gyakrabban dobunk nagyobb számot, mint a B kockával, a B kockával gyakrabban dobunk nagyobb számot, mint a C kockával, és a C kockával gyakrabban dobunk nagyobb számot, mint az A kockával?

Tranzitivitás

A tranzitivitás a bináris relációk témaköréből származó fogalom. Azt mondjuk, hogy az M halmazon értelmezett R reláció tranzitív, ha minden a, b, c ∈ M esetén igaz, hogy ha (a; b) ∈ R és (b; c) ∈ R, akkor (a; c) is eleme R-nek.

A kockák esetében vehetjük a „jobb kocka” relációt abban az értelemben, hogy az A kocka jobb, mint a B kocka, ha az A kockával gyakrabban dobunk nagyobb számot, mint a B kockával. Ekkor a tranzitivitás így néz ki: ha az A kocka jobb, mint a B kocka, és a B kocka jobb, mint a C kocka, akkor az A kockának is jobbnak kell lennie, mint a C kocka. Igaz ez?

Megpróbálunk ellenpéldát találni, vagyis olyan három kockát, amelyek körben jobbak egymásnál. Az A kocka jobb lesz, mint a B, a B kocka jobb lesz, mint a C, és a C kocka jobb lesz, mint az A. Mindig csak hatoldalú kockákat veszünk figyelembe.

Példa

Ilyen például ez a három kocka:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Mekkora a valószínűsége annak, hogy az A kockával nagyobb számot dobunk, mint a B kockával? Összesen 36 különböző párosítás lehetséges. Ha a B kockán az első egyes jön ki, akkor az A kockán mindig nagyobb szám van. Ez tehát 6 olyan pár, amikor az A kockával nagyobbat dobunk. Ha a B kockán a második egyes jön ki, további 6 olyan pár van, amikor az A kockával nagyobbat dobunk. Ha valamelyik hatos jön ki, az A kockán valamelyik kilencesnek kell kijönnie. Ez további 4 lehetőség. Ha valamelyik nyolcas jön ki, az A kockán szintén valamelyik kilencesnek kell kijönnie. Ismét 4 lehetőség. Összesen 6 + 6 + 4 + 4 = 20 lehetőségünk van. Annak a valószínűsége, hogy az A kockával nagyobbat dobunk, tehát 20/36 = 5/9, ami körülbelül 56%.

Most jön a B a C ellen. Ha a C kockán valamelyik hármas jön ki, a B kockán valamelyik hatosnak vagy nyolcasnak kell kijönnie. Ez összesen 2 · 4 = 8 lehetőség. Ha ötös jön ki, a B kockán megint 6-osnak vagy 8-asnak kell kijönnie, tehát megint 8 lehetőség. Ha hetes jön ki, a B kockán nyolcasnak kell kijönnie, ez 4 lehetőség. Összesen 8 + 8 + 4 = 20. A valószínűség ismét 5/9.

Végül a C az A ellen. Ha az A kockán kettes jön ki, a C kockán minden szám nagyobb. Ez 12 lehetőség. Ha négyes jön ki, a C kockán 5-ös vagy 7-es jöhet ki. Ez 8 lehetőség. Ha kilences jön ki, nincs szerencsénk. Összesen 12 + 8 = 20 lehetőség, és ismét 5/9 valószínűséget kapunk.

Efron-kockák

Az Efron-kockák a kockák egy másik olyan készlete, amely nem tranzitív a „jobb kocka” relációra nézve. A számok a következők:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

Mindegyik kocka a következőt 2/3 valószínűséggel győzi le. Például amikor az A kockán négyes jön ki, nyer a B kocka ellen. Amikor nulla jön ki, veszít. Az A kockán pedig 2/3 valószínűséggel jön ki a négyes. A többi kockára hasonlóan.

Az Efron-kockáknak más változatai is vannak. Léteznek olyanok, amelyeknek egy dobásra azonos az átlagos értéke (például az A kocka átlagosan 8/3-ot dob, míg a C átlaga magasabb, 10/3), és olyanok is, amelyek egymás között felosztják az összes természetes számot 1-től 24-ig.

További források

• Angol Wikipedia