비추이적 주사위

아무 수나 적힌 육면체 주사위가 세 개 있다고 상상해 보자. 주사위 A에서 주사위 B보다 큰 수가 더 자주 나오고, 주사위 B에서 주사위 C보다 큰 수가 더 자주 나오고, 주사위 C에서 주사위 A보다 큰 수가 더 자주 나올 수 있을까?

추이성

추이성은 이항관계의 개념이다. M 위의 관계 R이 추이적이라는 것은 모든 a, b, c ∈ M에 대해 (a, b) ∈ R이고 (b, c) ∈ R이면 (a, c)도 R에 속한다는 뜻이다.

주사위의 경우 “더 좋은 주사위”라는 관계를 생각할 수 있다. 주사위 A에서 주사위 B보다 큰 수가 더 자주 나오면 주사위 A가 주사위 B보다 더 좋다고 하자. 그러면 추이성은 이렇게 된다. 주사위 A가 주사위 B보다 좋고 주사위 B가 주사위 C보다 좋으면, 주사위 A도 주사위 C보다 좋아야 한다. 이것이 사실일까?

반례, 즉 꼬리를 물고 돌아가며 서로보다 좋은 주사위 세 개를 찾아보자. 주사위 A는 주사위 B보다 좋고, 주사위 B는 주사위 C보다 좋고, 주사위 C는 주사위 A보다 좋아야 한다. 언제나 육면체 주사위만 생각한다.

예

다음 세 주사위가 예이다.

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

주사위 A에서 주사위 B보다 큰 수가 나올 확률은 얼마일까? 두 주사위에서 나올 수 있는 쌍은 모두 36가지이다. 주사위 B에서 첫 번째 1이 나오면 주사위 A에서는 언제나 더 큰 수가 나온다. 즉 주사위 A에서 더 큰 수가 나오는 쌍이 6가지이다. B에서 두 번째 1이 나오면 A에서 더 큰 수가 나오는 쌍이 6가지 더 있다. B에서 6이 나오면 A에서는 9가 나와야 한다. 이런 경우가 4가지 더 있다. 8이 나오면 A에서는 역시 9가 나와야 한다. 이번에도 4가지이다. 모두 6 + 6 + 4 + 4 = 20가지이다. 따라서 A에서 더 큰 수가 나올 확률은 20/36 = 5/9, 즉 약 56%이다.

이제 B와 C이다. C에서 3이 나오면 B에서는 6이나 8이 나와야 한다. 모두 2 · 4 = 8가지이다. 5가 나오면 이번에도 B에서 6이나 8이 나와야 하므로 다시 8가지이다. 7이 나오면 B에서 8이 나와야 하므로 4가지이다. 모두 8 + 8 + 4 = 20가지이다. 확률은 이번에도 5/9이다.

마지막으로 C와 A이다. A에서 2가 나오면 C의 모든 수가 더 크다. 12가지이다. 4가 나오면 C에서 5나 7이 나올 수 있다. 8가지이다. 9가 나오면 운이 나쁘다. 모두 12 + 8 = 20가지이고, 확률은 이번에도 5/9이다.

에프런의 주사위

에프런의 주사위는 “더 좋은 주사위”라는 관계에 대해 추이적이지 않은 또 다른 주사위 묶음이다. 적힌 수는 다음과 같다.

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

이때 각 주사위는 다음 주사위를 언제나 확률 2/3로 이긴다. 예를 들어 주사위 A에서 4가 나오면 주사위 B를 이긴다. 0이 나오면 진다. 그리고 주사위 A에서 4가 나올 확률은 2/3이다. 다른 주사위도 마찬가지이다.

에프런의 주사위에는 다른 변형도 있다. 한 번 던질 때의 평균이 같은 것(예를 들어 주사위 A는 평균적으로 8/3이 나오는 반면, C는 평균이 더 큰 10/3이다)이나 1부터 24까지의 자연수를 모두 나누어 가진 것도 있다.

더 읽을거리

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