Icke-transitiva tärningar

Tänk dig att du har tre sexsidiga tärningar som har godtyckliga tal på sidorna. Kan det hända att ett högre tal oftare kommer upp på tärning A än på tärning B, ett högre tal oftare kommer upp på tärning B än på tärning C och ett högre tal oftare kommer upp på tärning C än på tärning A?

Transitivitet

Transitivitet är ett begrepp från binära relationer. Vi säger att en relation R på M är transitiv om det för alla a, b, c ∈ M gäller att om (a, b) ∈ R och samtidigt (b, c) ∈ R, så ligger också (a, c) i R.

För tärningar kan vi ha relationen ”vara en bättre tärning” i betydelsen att tärning A är bättre än tärning B om ett högre tal oftare kommer upp på A än på B. Då ser transitiviteten ut så här: om tärning A är bättre än tärning B och samtidigt tärning B är bättre än tärning C, så måste också tärning A vara bättre än tärning C. Stämmer det?

Vi försöker hitta ett motexempel, alltså tre tärningar som är bättre än varandra i en cykel. Tärning A ska vara bättre än tärning B, tärning B ska vara bättre än tärning C och tärning C ska vara bättre än tärning A. Vi tar hela tiden bara hänsyn till sexsidiga tärningar.

Exempel

Ett exempel är dessa tre tärningar:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Vad är sannolikheten att ett större tal kommer upp på tärning A än på tärning B? Det finns sammanlagt 36 olika par av utfall. Om den första ettan kommer upp på B kommer alltid ett större tal upp på A. Det ger 6 par där ett högre tal kommer upp på A. Om den andra ettan kommer upp på B har vi ytterligare 6 par där ett högre tal kommer upp på A. Om en av sexorna kommer upp måste en av niorna komma upp på A. Det blir ytterligare 4 möjligheter. Om en av åttorna kommer upp måste en av niorna komma upp på A. Åter 4 möjligheter. Sammanlagt har vi 6 + 6 + 4 + 4 = 20 möjligheter. Sannolikheten att ett högre tal kommer upp på A är alltså 20/36 = 5/9, vilket är ungefär 56 %.

Nu B mot C. Om en av treorna kommer upp på C måste en av sexorna eller en av åttorna komma upp på B. Det blir sammanlagt 2 · 4 = 8 möjligheter. Om en femma kommer upp måste det igen vara 6 eller 8 på B, alltså åter 8 möjligheter. Om en sjua kommer upp måste en åtta komma upp på B, 4 möjligheter. Sammanlagt 8 + 8 + 4 = 20. Sannolikheten är åter 5/9.

Till sist C mot A. Om en tvåa kommer upp på A är allt på C högre. Det är 12 möjligheter. Om en fyra kommer upp kan det vara 5 eller 7 på C. Det är 8 möjligheter. Om en nia kommer upp har vi otur. Sammanlagt blir det 12 + 8 = 20 möjligheter och vi får åter sannolikheten 5/9.

Efrons tärningar

Efrons tärningar är ett annat exempel på en uppsättning tärningar som inte är transitiva med avseende på relationen att vara en bättre tärning. De har följande tal:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

Här gäller att varje tärning slår nästa tärning med sannolikheten 2/3. Till exempel när en fyra kommer upp på tärning A vinner den över tärning B. När en nolla kommer upp förlorar den. Och på tärning A kommer en fyra upp med sannolikheten 2/3. På motsvarande sätt för de andra tärningarna.

Det finns också andra varianter av Efrons tärningar. Sådana som har samma medelvärde per kast (till exempel kastar tärning A i genomsnitt talet 8/3, medan C har ett högre medelvärde, 10/3) eller sådana som delar upp alla heltal från 1 till 24 mellan sig.

Ytterligare källor

• Engelska Wikipedia