Ikke-transitive terninger

Tenk deg at du har tre sekssidede terninger med hvilke som helst tall på. Kan det hende at det oftere kommer et høyere tall på terning A enn på terning B, oftere et høyere tall på terning B enn på terning C og oftere et høyere tall på terning C enn på terning A?

Transitivitet

Transitivitet er et begrep fra binære relasjoner. Vi sier at en relasjon R på M er transitiv hvis det for alle a, b, c ∈ M gjelder at hvis (a, b) ∈ R og samtidig (b, c) ∈ R, så er også (a, c) i R.

For terninger kunne vi ha relasjonen «å være bedre terning» i den forstand at terning A er bedre enn terning B hvis det oftere kommer et høyere tall på terning A enn på terning B. Da ser transitiviteten slik ut: Hvis terning A er bedre enn terning B og samtidig terning B er bedre enn terning C, må også terning A være bedre enn terning C. Er det sant?

Vi prøver å finne et moteksempel, altså tre terninger som er syklisk bedre. Terning A skal være bedre enn terning B, terning B skal være bedre enn terning C og terning C skal være bedre enn terning A. Vi tar bare hensyn til sekssidede terninger.

Eksempel

Et eksempel er disse tre terningene:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Hva er sannsynligheten for at det kommer et større tall på terning A enn på terning B? Det finnes til sammen 36 ulike par terningene kan vise. Hvis den første eneren kommer på terning B, kommer det alltid et større tall på terning A. Altså har vi 6 par der det kommer et høyere tall på terning A. Hvis den andre eneren kommer på B, har vi 6 par til der det kommer et høyere tall på A. Hvis en av sekserne kommer, må en av nierne komme på A. Det er 4 muligheter til. Hvis en av åtterne kommer, må en av nierne komme på A. Igjen 4 muligheter. Til sammen har vi 6 + 6 + 4 + 4 = 20 muligheter. Sannsynligheten for at det kommer et høyere tall på A, er dermed 20/36 = 5/9, som er omtrent 56 %.

Nå B mot C. Hvis en av treerne kommer på C, må en av sekserne eller en av åtterne komme på B. Det er til sammen 2 · 4 = 8 muligheter. Hvis en femmer kommer, må det igjen komme 6 eller 8 på B, altså igjen 8 muligheter. Hvis en sjuer kommer, må det komme en åtter på B, 4 muligheter. Til sammen 8 + 8 + 4 = 20. Sannsynligheten er igjen 5/9.

Til slutt C mot A. Hvis det kommer en toer på A, er alt på C høyere. Det er 12 muligheter. Hvis det kommer en firer, kan det komme 5 eller 7 på C. Det er 8 muligheter. Hvis det kommer en niere, er vi uheldige. Til sammen gir det 12 + 8 = 20 muligheter, og vi får igjen sannsynligheten 5/9.

Efrons terninger

Efrons terninger er et annet eksempel på et sett av terninger som ikke er transitive med hensyn til relasjonen å være bedre terning. De har slike tall:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

Samtidig gjelder det at hver terning alltid slår den neste terningen med sannsynlighet 2/3. For eksempel når det kommer en firer på terning A, vinner den over terning B. Når det kommer en null, taper den. Og på terning A kommer det en firer med sannsynlighet 2/3. Tilsvarende for de andre terningene.

Det finnes også andre varianter av Efrons terninger. Slike som har den samme gjennomsnittsverdien per kast (for eksempel kaster terning A i gjennomsnitt tallet 8/3, mens C har et høyere gjennomsnitt, 10/3), eller slike som deler alle naturlige tall fra 1 til 24 mellom seg.

Flere kilder

• Engelsk Wikipedia