Nichttransitive Würfel

Stell dir vor, du hast drei sechsseitige Würfel, auf denen beliebige Zahlen stehen. Kann es sein, dass auf Würfel A häufiger eine höhere Zahl fällt als auf Würfel B, auf Würfel B häufiger eine höhere Zahl fällt als auf Würfel C und auf Würfel C häufiger eine höhere Zahl fällt als auf Würfel A?

Transitivität

Transitivität ist ein Begriff aus den binären Relationen. Wir sagen, dass eine Relation R auf M transitiv ist, wenn für alle a, b, c ∈ M gilt: Wenn (a, b) ∈ R und zugleich (b, c) ∈ R, dann ist auch (a, c) in R.

Bei den Würfeln könnten wir die Relation „der bessere Würfel sein“ betrachten, und zwar in dem Sinne, dass Würfel A besser ist als Würfel B, wenn auf Würfel A häufiger eine höhere Zahl fällt als auf Würfel B. Dann sieht die Transitivität so aus: Wenn Würfel A besser ist als Würfel B und zugleich Würfel B besser ist als Würfel C, dann muss auch Würfel A besser sein als Würfel C. Stimmt das?

Wir versuchen, ein Gegenbeispiel zu finden, also drei solche Würfel, die zyklisch besser sind. Würfel A soll besser sein als Würfel B, Würfel B besser als Würfel C und Würfel C besser als Würfel A. Wir betrachten immer nur sechsseitige Würfel.

Beispiel

Ein Beispiel sind diese drei Würfel:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf Würfel A eine größere Zahl fällt als auf Würfel B? Es gibt insgesamt 36 verschiedene Paare, wie die Würfel fallen können. Wenn auf Würfel B die erste Eins fällt, dann fällt auf Würfel A immer eine größere Zahl. Das sind also 6 Paare, bei denen auf Würfel A die höhere Zahl fällt. Wenn auf B die zweite Eins fällt, haben wir weitere 6 Paare, bei denen auf A die höhere Zahl fällt. Wenn eine der Sechsen fällt, muss auf A eine der Neunen fallen. Das sind weitere 4 Möglichkeiten. Wenn eine der Achten fällt, muss auf A eine der Neunen fallen. Wieder 4 Möglichkeiten. Insgesamt haben wir 6 + 6 + 4 + 4 = 20 Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass auf A die höhere Zahl fällt, ist also 20/36 = 5/9, das sind ungefähr 56 %.

Jetzt B gegen C. Wenn auf C eine der Dreien fällt, muss auf B eine der Sechsen oder eine der Achten fallen. Das sind insgesamt 2 · 4 = 8 Möglichkeiten. Wenn die Fünf fällt, muss wieder auf B eine 6 oder 8 fallen, also wieder 8 Möglichkeiten. Wenn die Sieben fällt, muss auf B die Acht fallen, 4 Möglichkeiten. Insgesamt 8 + 8 + 4 = 20. Die Wahrscheinlichkeit ist wieder 5/9.

Zuletzt C gegen A. Wenn auf A die Zwei fällt, ist alles von C höher. Das sind 12 Möglichkeiten. Wenn die Vier fällt, kann auf C die 5 oder 7 fallen. Das sind 8 Möglichkeiten. Wenn die Neun fällt, haben wir Pech gehabt. Insgesamt sind das 12 + 8 = 20 Möglichkeiten, und wir erhalten wieder die Wahrscheinlichkeit 5/9.

Efron-Würfel

Efron-Würfel sind ein weiteres Beispiel für einen Satz von Würfeln, die bezüglich der Relation „der bessere Würfel sein“ nicht transitiv sind. Sie haben diese Zahlen:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

Dabei gilt, dass ein Würfel den jeweils nächsten Würfel immer mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 schlägt. Zum Beispiel gewinnt Würfel A, wenn auf ihm die Vier fällt, gegen Würfel B. Wenn die Null fällt, verliert er. Und auf Würfel A fällt die Vier mit der Wahrscheinlichkeit 2/3. Ähnlich bei den anderen Würfeln.

Es gibt auch weitere Varianten der Efron-Würfel. Solche, die denselben Mittelwert pro Wurf haben (zum Beispiel wirft Würfel A im Durchschnitt die Zahl 8/3, während C einen höheren Durchschnitt von 10/3 hat), oder solche, die alle natürlichen Zahlen von 1 bis 24 unter sich aufteilen.

Weitere Quellen

• Deutsche Wikipedia