Niet-transitieve dobbelstenen

Stel je voor dat je drie zeszijdige dobbelstenen hebt met willekeurige getallen erop. Kan het gebeuren dat er op dobbelsteen A vaker een hoger getal valt dan op dobbelsteen B, dat er op dobbelsteen B vaker een hoger getal valt dan op dobbelsteen C en dat er op dobbelsteen C vaker een hoger getal valt dan op dobbelsteen A?

Transitiviteit

Transitiviteit is een begrip uit de binaire relaties. We zeggen dat een relatie R op M transitief is als voor alle a, b, c ∈ M geldt dat als (a, b) ∈ R en tegelijk (b, c) ∈ R, dan ook (a, c) in R zit.

Bij dobbelstenen zouden we de relatie “de betere dobbelsteen zijn” kunnen hebben, in de zin dat dobbelsteen A beter is dan dobbelsteen B als er op dobbelsteen A vaker een hoger getal valt dan op dobbelsteen B. Dan ziet transitiviteit er zo uit: als dobbelsteen A beter is dan dobbelsteen B en tegelijk dobbelsteen B beter is dan dobbelsteen C, dan moet ook dobbelsteen A beter zijn dan dobbelsteen C. Is dat waar?

We proberen een tegenvoorbeeld te vinden, dus drie dobbelstenen die cyclisch beter zijn. Dobbelsteen A is beter dan dobbelsteen B, dobbelsteen B is beter dan dobbelsteen C en dobbelsteen C is beter dan dobbelsteen A. We nemen steeds alleen zeszijdige dobbelstenen.

Voorbeeld

Een voorbeeld zijn deze drie dobbelstenen:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Hoe groot is de kans dat er op dobbelsteen A een groter getal valt dan op dobbelsteen B? Er zijn in totaal 36 verschillende paren waarin de dobbelstenen kunnen vallen. Als op dobbelsteen B de eerste één valt, valt er op dobbelsteen A altijd een groter getal. Dat zijn dus 6 paren waarin er op dobbelsteen A een hoger getal valt. Als op B de tweede één valt, hebben we nog eens 6 paren waarin er op A een hoger getal valt. Als een van de zessen valt, moet er op A een van de negens vallen. Dat zijn nog eens 4 mogelijkheden. Als een van de achten valt, moet er op A een van de negens vallen. Weer 4 mogelijkheden. In totaal hebben we 6 + 6 + 4 + 4 = 20 mogelijkheden. De kans dat er op A een hoger getal valt is dus 20/36 = 5/9, en dat is ongeveer 56%.

Nu B tegen C. Als er op C een van de drieën valt, moet er op B een van de zessen of een van de achten vallen. Dat zijn in totaal 2 · 4 = 8 mogelijkheden. Als er een vijf valt, moet er weer op B een 6 of 8 vallen, dus opnieuw 8 mogelijkheden. Als er een zeven valt, moet er op B een acht vallen, 4 mogelijkheden. In totaal 8 + 8 + 4 = 20. De kans is weer 5/9.

Tot slot C tegen A. Als er op A een twee valt, is alles op C hoger. Dat zijn 12 mogelijkheden. Als er een vier valt, kan er op C een 5 of 7 vallen. Dat zijn 8 mogelijkheden. Als er een negen valt, hebben we pech. In totaal zijn dat 12 + 8 = 20 mogelijkheden en we krijgen weer kans 5/9.

De dobbelstenen van Efron

De dobbelstenen van Efron zijn een ander voorbeeld van een set dobbelstenen die niet transitief zijn ten opzichte van de relatie “de betere dobbelsteen zijn”. Ze hebben deze getallen:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

Daarbij geldt dat elke dobbelsteen met kans 2/3 wint van de volgende (A van B, B van C, C van D en D van A). Als er bijvoorbeeld op dobbelsteen A een vier valt, wint hij van dobbelsteen B. Als er een nul valt, verliest hij. En op dobbelsteen A valt een vier met kans 2/3. Zo is het ook bij de andere dobbelstenen.

Er bestaan ook andere varianten van de dobbelstenen van Efron. Varianten die per worp dezelfde gemiddelde waarde hebben (bijvoorbeeld dobbelsteen A gooit gemiddeld het getal 8/3, terwijl C een hoger gemiddelde heeft, 10/3) of varianten die alle natuurlijke getallen van 1 tot en met 24 onderling verdelen.

Verdere bronnen

• Engelse Wikipedia