Zaruri netranzitive

Imaginează-ți că ai trei zaruri cu șase fețe, pe care sunt scrise numere oarecare. Se poate întâmpla ca la zarul A să iasă mai des un număr mai mare decât la zarul B, la zarul B să iasă mai des un număr mai mare decât la zarul C, iar la zarul C să iasă mai des un număr mai mare decât la zarul A?

Tranzitivitatea

Tranzitivitatea este o noțiune din relațiile binare. Spunem că relația R pe mulțimea M este tranzitivă dacă, pentru orice a, b, c ∈ M, din (a, b) ∈ R și (b, c) ∈ R rezultă că și (a, c) aparține lui R.

În cazul zarurilor putem defini relația „a fi un zar mai bun” astfel: zarul A este mai bun decât zarul B dacă la zarul A iese mai des un număr mai mare decât la zarul B. Tranzitivitatea ar arăta atunci așa: dacă zarul A este mai bun decât zarul B și zarul B este mai bun decât zarul C, atunci și zarul A trebuie să fie mai bun decât zarul C. Este adevărat?

Vom încerca să găsim un contraexemplu, adică trei zaruri care sunt mai bune „în cerc”. Zarul A va fi mai bun decât B, zarul B mai bun decât C, iar zarul C mai bun decât A. Luăm în considerare întotdeauna doar zaruri cu șase fețe.

Exemplu

Un exemplu sunt aceste trei zaruri:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Care este probabilitatea ca la zarul A să iasă un număr mai mare decât la zarul B? În total există 36 de perechi posibile de rezultate. Dacă la B iese primul 1, la A iese întotdeauna un număr mai mare. Avem deci 6 perechi în care la A iese numărul mai mare. Dacă la B iese al doilea 1, avem încă 6 perechi în care la A iese numărul mai mare. Dacă iese unul dintre cei doi de 6, la A trebuie să iasă unul dintre cei doi de 9. Sunt încă 4 cazuri. Dacă iese unul dintre cei doi de 8, la A trebuie să iasă tot unul dintre cei doi de 9. Din nou 4 cazuri. În total avem 6 + 6 + 4 + 4 = 20 de cazuri favorabile. Probabilitatea ca la A să iasă numărul mai mare este deci $P=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$, adică aproximativ 56%.

Acum B față de C. Dacă la C iese un 3, la B trebuie să iasă un 6 sau un 8. Sunt în total 2 · 4 = 8 cazuri. Dacă iese un 5, la B trebuie din nou să iasă 6 sau 8, deci iarăși 8 cazuri. Dacă iese un 7, la B trebuie să iasă un 8, adică 4 cazuri. În total 8 + 8 + 4 = 20. Probabilitatea este din nou $\frac{5}{9}$.

În sfârșit, C față de A. Dacă la A iese un 2, toate numerele de la C sunt mai mari. Sunt 12 cazuri. Dacă iese un 4, la C poate ieși 5 sau 7. Sunt 8 cazuri. Dacă iese un 9, n-avem noroc. În total avem 12 + 8 = 20 de cazuri și obținem din nou probabilitatea $\frac{5}{9}$.

Zarurile lui Efron

Zarurile lui Efron sunt un alt exemplu de set de zaruri care nu sunt tranzitive față de relația „a fi un zar mai bun”. Ele au următoarele numere:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

Aici, fiecare zar îl învinge pe următorul cu probabilitatea $\frac{2}{3}$. De exemplu, când la zarul A iese 4, câștigă în fața zarului B. Când iese 0, pierde. Iar la zarul A iese 4 cu probabilitatea $\frac{2}{3}$. La fel este și pentru celelalte zaruri.

Există și alte variante ale zarurilor lui Efron. Unele au aceeași valoare medie la o aruncare (de exemplu, zarul A dă în medie $\frac{8}{3}$, în timp ce C are media mai mare, $\frac{10}{3}$), iar altele își împart între ele toate numerele naturale de la 1 la 24.

Alte surse

• Wikipedia engleză