Twierdzenie sinusów i cosinusów

Twierdzenie sinusów to twierdzenie, które — w odróżnieniu od zwykłych funkcji trygonometrycznych — jest prawdziwe w dowolnym trójkącie. Opisuje związek między długościami boków a kątami. Twierdzenie cosinusów również jest prawdziwe w dowolnym trójkącie, a jego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie sinusów

Twierdzenie sinusów mówi, że w danym dowolnym (!) trójkącie stosunek długości każdego boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego jest stały. Zapisujemy to tak:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2r,$$

gdzie r jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie, a a, b i c to długości boków trójkąta. Powyższą równość możemy też zapisać w postaci:

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}, \frac{b}{c}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}, \frac{c}{a}=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}$$

Twierdzenie cosinusów

Twierdzenie cosinusów, tak samo jak twierdzenie sinusów, jest prawdziwe w dowolnym trójkącie. Brzmi ono tak:

$$\begin{eqnarray} a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\\ b^2 &=& c^2 + a^2 - 2 c a \cdot \cos \beta\\ c^2 &=& a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma \end{eqnarray}$$

Zauważ, że jeśli jeden z kątów będzie prosty, czyli będzie miał miarę 90 stopni, to w jednym ze wzorów zniknie ostatnia część i otrzymamy twierdzenie Pitagorasa. Jeśli bowiem $\alpha=90^{\circ}$, to cos(α) = 0, więc otrzymujemy:

$$\begin{eqnarray} a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\\ a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot 0\\ a^2 &=& b^2 + c^2 \end{eqnarray}$$

Motywacja

Weźmy trójkąt ABC, w którym bok c ma długość |c| = 9. Miary kątów są następujące: $\alpha=40^{\circ}, \beta=80^{\circ}, \gamma=60^{\circ}$. Pytanie brzmi: jakie są długości pozostałych dwóch boków? Tym razem nie wystarczą nam zwykłe funkcje trygonometryczne, bo działają one w trójkącie prostokątnym, a ten trójkąt na pewno prostokątny nie jest. Rysunek:

Musimy więc pójść inną drogą. Jedną z nich jest właśnie twierdzenie sinusów. Jak go użyjemy? Twierdzenie sinusów mówi, że:

$$\frac{|a|}{\sin\alpha}=\frac{|b|}{\sin\beta}=\frac{|c|}{\sin\gamma}$$

Znamy wszystkie kąty i długość boku c. Bok b obliczymy więc z równości

$$\frac{|b|}{\sin\beta}=\frac{|c|}{\sin\gamma}$$

Teraz musimy wyznaczyć długość boku b. Wykonamy przekształcenie równoważne i pomnożymy równanie przez sinus kąta beta. Otrzymamy:

$$|b|=\frac{|c|\cdot\sin\beta}{\sin\gamma}$$

Wszystkie wyrażenia po prawej stronie znamy albo umiemy je obliczyć. Podstawiamy więc:

$$|b|=\frac{9\cdot0{,}985}{0{,}866}=10{,}23.$$

Dokładnie tak samo obliczymy pozostały bok a:

$$\frac{|a|}{\sin\alpha}=\frac{|c|}{\sin\gamma}$$

Wyznaczamy |a|, mnożąc równanie przez sinus kąta alfa.

$$|a|=\frac{|c|\cdot\sin\alpha}{\sin\gamma}$$

Obliczamy wynik:

$$|a|=\frac{9\cdot0{,}642}{0{,}866}=6{,}672$$

Wyprowadzenie twierdzenia sinusów

Dlaczego twierdzenie sinusów jest prawdziwe? Weźmy zwykły trójkąt ABC i narysujmy w nim jeszcze wysokość opuszczoną na bok c.

Pytanie brzmi: jaką długość ma odcinek CP_c? Wysokość dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty prostokątne, za pomocą których możemy wyrazić długość wysokości. Spróbujemy więc wyrazić długość odcinka CP_c za pomocą każdego z tych trójkątów. Sinus kąta alfa jest równy:

$$\sin(\alpha)=\frac{|CP_c|}{|AC|}$$

Stąd wyznaczamy |CP_c|:

$$|CP_c|=\sin(\alpha)\cdot|AC|=\sin(\alpha)\cdot |b|.$$

Teraz wyrazimy długość odcinka CP_c za pomocą drugiego trójkąta, czyli za pomocą kąta beta:

$$\sin(\beta)=\frac{|CP_c|}{|BC|}$$

Stąd znowu wyznaczamy |CP_c|:

$$|CP_c|=\sin(\beta)\cdot|BC|=\sin(\beta)\cdot |a|$$

Długość wysokości mamy więc wyrażoną dwoma wzorami:

$$|CP_c|=\sin(\alpha)\cdot |b|=\sin(\beta)\cdot |a|,$$

zatem otrzymujemy równość

$$\sin(\alpha)\cdot |b|=\sin(\beta)\cdot |a|.$$

Stąd już tylko krok do tego, co mówi twierdzenie sinusów. Całe równanie dzielimy przez iloczyn sinusa alfa i sinusa beta:

$$\begin{eqnarray} \sin(\alpha)\cdot |b|&=&\sin(\beta)\cdot |a|\qquad/:\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)\\ \frac{\sin(\alpha)\cdot |b|}{\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)}&=&\frac{\sin(\beta)\cdot |a|}{\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)}\qquad/\mbox{skracamy sinusy}\\ \frac{|b|}{\sin(\beta)}&=&\frac{|a|}{\sin(\alpha)} \end{eqnarray}$$

W ten sposób udowodniliśmy część twierdzenia sinusów; dowód dla pozostałych kombinacji boków wygląda identycznie.