Interpretacja geometryczna liczb zespolonych

Liczby zespolone możemy przedstawiać także w zwykłym kartezjańskim układzie współrzędnych. Płaszczyznę, na której zaznaczamy liczby zespolone, nazywamy płaszczyzną zespoloną albo płaszczyzną Gaussa.

Przedstawienie na płaszczyźnie Gaussa

Każdą liczbę zespoloną z = x + yi przedstawiamy na płaszczyźnie jako punkt o współrzędnych (x, y). Oś x nazywa się na płaszczyźnie Gaussa osią rzeczywistą, a oś y osią urojoną. Weźmy na przykład dwie liczby zespolone: z₁ = 2 + 5i i z₂ = 4 − 3i. Na płaszczyźnie Gaussa zaznaczylibyśmy je tak:

Liczba przeciwna i liczba sprzężona

Na płaszczyźnie Gaussa łatwo zaznaczymy liczby przeciwne i sprzężone. Weźmy liczbę zespoloną z = 3 + 5i. Liczba przeciwna do liczby z, czyli −3 − 5i, jest do niej symetryczna względem początku układu współrzędnych:

Liczba sprzężona ma przeciwny znak części urojonej, więc liczba sprzężona jest symetryczna do wyjściowej liczby względem osi rzeczywistej (osi x). Widać to na rysunku ($z^\prime$ oznacza liczbę sprzężoną):

Moduł

W zbiorze liczb rzeczywistych wartość bezwzględna to „dodatnia wersja” danej liczby. W liczbach zespolonych wartość bezwzględną, czyli moduł, obliczamy trochę inaczej. Moduł liczby zespolonej to bowiem odległość odpowiadającego jej punktu na płaszczyźnie Gaussa od początku układu współrzędnych.

Odległość od początku obliczymy z twierdzenia Pitagorasa, z którego wynika, że |z|² = x² + y², gdzie x i y to część rzeczywista i część urojona liczby zespolonej. Moduł liczby z = x + yi dostaniemy już tylko przez wyciągnięcie pierwiastka:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$