Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Nie zawsze opłaca się mieć liczbę zespoloną w postaci algebraicznej, dlatego wprowadza się jeszcze postać trygonometryczną liczby zespolonej.

Jak można opisać punkt na płaszczyźnie?

Wiemy, że w interpretacji geometrycznej liczba zespolona z = x + yi to punkt na płaszczyźnie Gaussa. Ten punkt ma współrzędne (x, y). W jaki inny sposób możemy jeszcze określić punkt z, poza podaniem współrzędnych (x, y)?

Możemy obliczyć, jaki kąt tworzy z osią x (a dokładniej z jej dodatnią półosią) odcinek łączący punkt z z początkiem układu. Dzięki temu będziemy wiedzieć, w którym kierunku od początku układu leży punkt z. Żeby ustalić, gdzie dokładnie leży, potrzebujemy jeszcze znać jego odległość od początku układu. Mając te dwie informacje, potrafimy już dokładnie określić punkt z na płaszczyźnie Gaussa.

Postać trygonometryczna

Poniższy rysunek podsumowuje wszystko, co musimy znać, żeby zapisać liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej:

Jak widać, potrzebujemy długości odcinka od punktu z do początku układu, która jest równa modułowi liczby z — ten już umiemy obliczyć. Dalej potrzebujemy znać kąt $\varphi$ (nazywany argumentem liczby z). Postać trygonometryczna liczby zespolonej wygląda wtedy tak:

$$z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$

Jak wyznaczymy kąt $\varphi$? Wykorzystamy do tego funkcje trygonometryczne. Mamy tu trójkąt prostokątny i znamy długość przeciwprostokątnej, czyli moduł liczby z. W postaci trygonometrycznej występuje zarówno sinus, jak i cosinus, więc kąt $\varphi$ musimy wyrazić za pomocą obu tych funkcji. Z własności funkcji trygonometrycznych wynika przy tym, że:

$$\begin{eqnarray} \sin\varphi&=&\frac{y}{|z|}\\ \cos\varphi&=&\frac{x}{|z|} \end{eqnarray}$$

Z tych wzorów możemy wyznaczyć sam kąt $\varphi$. Wyznaczenie kąta jest konieczne, bo postać trygonometryczną zapisujemy razem z sinusem i cosinusem.

Przykład

Zapisz w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną $z=\sqrt{3}+i$. Najpierw obliczymy moduł liczby z, który jest równy:

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

Teraz zachodzi więc:

$$\begin{eqnarray} \sin\varphi&=&\frac{1}{2}\\ \cos\varphi&=&\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$$

W tym momencie możemy albo użyć kalkulatora i obliczyć arcus sinus i arcus cosinus, albo skorzystać z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych. Obie wartości, które nam wyszły, są w tablicach, więc tym razem kalkulatora nie użyjemy.

Jeśli $\sin\varphi=\frac12$, to kąt $\varphi$ jest równy π/6 albo 5π/6. Jeśli $\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}$, to kąt $\varphi$ jest równy π/6 albo 11π/6. Częścią wspólną tych możliwości jest kąt π/6 — dla tego kąta dostaniemy wartości, które zapisaliśmy w poprzednim równaniu.

Mnożenie i dzielenie

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej możemy oczywiście mnożyć i dzielić. Za pomocą wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów można wyprowadzić wzory na iloczyn i iloraz dwóch liczb zespolonych. Weźmy dwie liczby zespolone z₁ i z₂:

$$\begin{eqnarray} z_1&=&|z_1|(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)\\ z_2&=&|z_2|(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2) \end{eqnarray}$$

Same wzory wyglądają tak:

$$\begin{eqnarray} z_1\cdot z_2&=&|z_1|\cdot|z_2|\left[\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)\right]\\ \frac{z_1}{z_2}&=&\frac{|z_1|}{|z_2|}\left[\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)\right] \end{eqnarray}$$