Kapitalizacja miesięczna

W praktyce często zdarza się, że banki podają roczną stopę procentową, ale stosują ją co miesiąc. Jak obliczyć, ile wynosi miesięczna stopa procentowa?

Konto oszczędnościowe w Earth Banku

Earth Bank chwali się, że ma jedno z najlepszych kont oszczędnościowych, z rocznym oprocentowaniem 2%. Choć podaje roczną stopę procentową, odsetki dopisuje co miesiąc, czyli w ciągu roku dopisze je łącznie 12 razy. Ile wynosi miesięczna stopa procentowa? Inaczej mówiąc, ile pieniędzy przybędzie nam każdego miesiąca?

Wzór możemy wyprowadzić ze wzoru na procent składany. Najpierw jednak obliczymy, ile pieniędzy będziemy mieć na koncie dokładnie po roku. Powiedzmy, że wpłaciliśmy na konto 100 000 zł. Po roku będziemy mieć +2%, co daje

$$ 100{,}000 \cdot 1{,}02 = 102{,}000 $$

Po roku będziemy mieć na koncie 102 000, zyskaliśmy dwa tysiące. Ze wzoru na procent składany wiemy, że musi zachodzić

$$ j_t = j_0\cdot(1+d)^t, $$

gdzie j₀ to wkład początkowy, d to stopa procentowa, a t oznacza, ile razy kapitalizowaliśmy daną kwotę. W tym wzorze niewiadomą jest właśnie litera d — znamy tylko roczną stopę procentową, a szukamy miesięcznej. Odsetki dopisano łącznie 12 razy, więc t = 12. Wiemy przy tym, że j_t jest równe 102 000, po roku uzbieraliśmy 102 000 złotych, co już obliczyliśmy z rocznej stopy procentowej. Otrzymujemy więc równanie:

$$ 102 000 = 100 000\cdot 1{,}02 = 100 000\cdot(1+d)^{12} $$

Widzimy, że wartość (1 + d)¹² musi być równa 1,02. Jeśli obliczymy pierwiastek dwunastego stopnia z 1,02, otrzymamy właśnie wartość 1 + d. Ten pierwiastek wynosi w przybliżeniu 1,0016515813. Jeśli co miesiąc będziemy kapitalizować kwotę według stopy 0,0016515813, to po roku kwota wzrośnie łącznie o 2% (0,02) – zgodnie ze wzorem na procent składany – i wyniesie 102 000 złotych.