Relații

Relația este corespondentul matematic al noțiunii obișnuite de „legătură”. În viața de zi cu zi, între Monica și Ioana există, de exemplu, o legătură, mai exact legătura „mamă – fiică”. O altă astfel de legătură poate fi „stat – capitala acelui stat”. Ca exemplu putem lua perechea Egipt – Cairo.

Alte exemple de relații

Să luăm în ajutor alte exemple. În introducere am amintit relațiile (legăturile) „a fi mama fiicei sale” și „a fi capitala unui stat”. Să vedem altele: „a fi număr par”. În această relație se află numerele 2, 4, 8, 18, 58, 66 și multe altele. Numerele 1, 3, −7, 19 nu se află în relația „a fi număr par”. O relație din lumea obișnuită poate fi „a fi bărbat”. Adrian, Mihai, Luca sau Marian se află în relația „a fi bărbat”.

Un alt exemplu poate fi relația „mai mic decât”. De exemplu, numărul trei este „mai mic decât” numărul cinci. Matematic, putem scrie asta ca 3<5. Sau relația de egalitate: numărul trei „este egal cu” numărul trei, matematic: 3 = 3.

Putem avea și exemple mai complicate: „tatăl și mama sunt părinții unui copil”. În această relație vom avea un triplet de persoane: tatăl Daniel, mama Maria și copilul Crina. În matematică am putea inventa o relație cu trei elemente astfel: suma primelor două numere este egală cu al treilea număr. De exemplu, aceste numere, în această ordine, se află în relație: 3, 4, 7, deoarece 3 + 4 = 7. Aceste numere nu se află în relație: 3, 5, 12, deoarece 3 + 5 ≠ 12.

Aritatea unei relații

Aritatea este un termen cu sonoritate ciudată, dar care exprimă doar câte elemente avem în relație. În exemplele de până acum am lucrat cu un număr diferit de elemente. La relația „a fi bărbat” ne-a fost de ajuns un singur element, putem spune: „Radu este bărbat”. Ne ajunge un nume, un element. O astfel de relație o numim unară.

În exemplul următor am avut relația „mai mic decât”. Aceasta lucra cu două numere, cu două elemente. Am spus că numărul trei este mai mic decât cinci. Am folosit două elemente, deci relația este binară.

În ultimul exemplu am folosit în total trei elemente: suma a două numere trebuia să fie egală cu al treilea. Aveam deci numerele a, b, c și trebuia să avem a + b = c. Această relație ar fi ternară.

Pentru aritățile mai mari putem folosi notația de relație n-ară. Dar o putem folosi și pentru aritățile mai mici: putem scrie o relație binară ca relație 2-ară. Elementele relației le scriem apoi sub forma unor n-upluri ordonate. Dacă avem o relație binară, le scriem ca perechi, de obicei fie cu paranteze rotunde, fie cu paranteze unghiulare. Așadar, dacă vrem să scriem că numerele trei și cinci se află în relația „mai mic decât”, trebuie să scriem numerele ca pereche ordonată: (3, 5), eventual [3, 5]. Atenție, trebuie să ținem seama de ordine, invers nu ar fi valabil: (3, 5) ≠ (5, 3) — cinci nu este mai mic decât trei.

Exemplul cu familia

Înainte să trecem la definițiile matematice, încercăm încă un exemplu tipic, cu o familie. Fie următorii membri ai unei familii:

• Matei: bunicul din partea tatălui;
• Ion: tatăl;
• Dana: mama;
• Sanda: fiica;
• Radu: fiul.

Mai întâi căutăm toți membrii familiei care corespund relației „a fi bărbat”. Este o relație 1-ară, adică unară. În relație va fi deci mereu un singur element, un singur membru al familiei. Acum trebuie să enumerăm toți membrii familiei de sex masculin. De data aceasta ordinea nu contează. Relația „a fi bărbat” conține deci aceste elemente: {(Matei), (Ion), (Radu)}. Observă că, deși este o relație unară, am folosit paranteze. Nu este deloc obligatoriu, scrierea ar fi lizibilă și fără ele, dar de dragul consecvenței am păstrat parantezele. Totalitatea elementelor relației este apoi o simplă mulțime, de aceea acoladele acelea ciudate.

Acum căutăm toate perechile din relația „tată – fiu”. Se vede imediat că aceasta este o relație binară; în rezultat vor apărea perechi ordonate de elemente. Mulțimea rezultată arată așa: {(Ion, Radu), (Matei, Ion)}. Tatăl Ion este tatăl fiului Radu, iar bunicul Matei este tatăl tatălui Ion. Observă că ordinea chiar contează: Ion apare de două ori, dar o dată pe primul loc, în poziția de tată, și a doua oară pe locul al doilea, în poziția de fiu.

Încercăm încă o relație: „părinte – copil”. Aici vor fi mai multe perechi, pentru că pe primul loc poate fi oricare dintre părinți, atât tatăl, cât și mama, iar pe locul al doilea poate fi oricare dintre copii, atât fiul, cât și fiica. Trebuie să luăm în considerare și că bunicul Matei este părintele lui Ion, dar nu este părintele Danei. Ion și Dana sunt însă amândoi părinții Sandei și ai lui Radu. Sanda și Radu nu sunt părinții nimănui, pentru că au abia nouăsprezece, respectiv treisprezece ani. În final vom avea aceste perechi ordonate: {(Matei, Ion), (Ion, Sanda), (Ion, Radu), (Dana, Sanda), (Dana, Radu)}. Observă că Ion și Dana apar de două ori — o dată ca părinți ai fiicei Sanda și a doua oară ca părinți ai lui Radu.

Încă o provocare cu relații binare. Fie relația „frate sau soră – frate sau soră”. Aici trebuie să ne dăm seama că la relații contează ordinea, deci dacă am scrie în rezultatul acestei relații doar „Sanda – Radu”, ar fi greșit, pentru că este o pereche ordonată cu totul diferită de „Radu – Sanda”. De aceea rezultatul corect este: {(Sanda, Radu), (Radu, Sanda)}.

Și încă un exemplu scurt de relație ternară: scrie toate tripletele ordonate ale relației „bunic – tată – copil”. În enunț avem un singur bunic și un singur tată, dar doi descendenți. Nu este de ajuns să scriem doar varianta cu Sanda sau doar cea cu Radu, trebuie să-i scriem pe amândoi. Altfel ar fi dacă la sfârșit, în loc de „copil”, ar fi indicat „fiu”. Rezultatul corect este: {(Matei, Ion, Sanda), (Matei, Ion, Radu)}.

Definiția relației unare

Încercăm să explorăm cele mai simple relații, cele unare. Prin relație unară înțelegem o mulțime de elemente. Mulțimea {2, 3} poate reprezenta o relație. De exemplu, relația „a fi număr prim mai mic decât cinci” sau „a fi divizor propriu al lui șase”, depinde de interpretarea noastră.

Cititorii mai atenți au observat că a doua relație este definită puțin ciudat. Spune că relația ar trebui să conțină divizorii proprii ai lui șase, iar în mulțimea rezultată avem numerele 2 și 3. Nu ne lipsesc unele? Numerele 1 și 6 sunt divizori improprii, pe ele nu le luăm în seamă. Dar ar trebui să fie acolo și numerele negative, adică −2 și −3. Mulțimea tuturor divizorilor proprii ai lui 6 arată așa: {−3, −2, 2, 3}.

Asemănător cu funcțiile, la care precizăm domeniul de definiție, la relație precizăm mulțimea suport — mulțimea din care alegem elementele relației. În exemplele anterioare am precizat, de exemplu, familia în care era bunicul Matei etc. Nu am ales tații și copiii din toate familiile din lume. Dacă drept mulțime suport precizăm mulțimea numerelor naturale, atunci relația noastră va fi în regulă.

Acum ne putem apuca de definiția relației. Dacă avem ca mulțime suport numerele naturale, ce elemente poate conține relația noastră unară? Din nou doar numere naturale. Fie toate, fie doar o parte dintre ele. Putem spune astfel că relația dată va fi o submulțime a mulțimii numerelor naturale. Mai general, dacă avem o relație unară R și o mulțime suport M, atunci R ⊆ M, adică relația R este o submulțime a mulțimii M.

Definiția relației binare

Cum va arăta pentru o relație binară? La o relație binară, elementele relației R sunt perechi ordonate. Fiecare element al perechii poate proveni din altă mulțime. Putem avea relația „părinte – număr de copii”. Părintele se va alege din mulțimea oamenilor, de exemplu din Europa, iar numărul de copii se va alege din mulțimea numerelor naturale.

Cum obținem din două mulțimi mulțimea tuturor perechilor posibile? Cu ajutorul produsului cartezian. Dacă avem mulțimile A = {a, b, c}, B = {1, 2}, atunci prin produs cartezian obținem:

$$A\times B=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)\}$$

Aceasta este mulțimea tuturor perechilor posibile pe care le putem obține punând pe primul loc un element din mulțimea A și pe locul al doilea un element din mulțimea B. Așadar, dacă avem o relație binară R între mulțimile A și B, putem defini această relație ca R ⊆ A × B.

Dacă păstrăm mulțimile A și B de mai înainte și definim între ele relația R astfel: „litera – poziția literei în alfabet”, atunci această relație va arăta așa: R = {(a, 1), (b, 2)}. Litera c nu va mai fi acolo, pentru că în produsul cartezian A × B nu apare perechea (c, 3).

Definiția relației n-are

În sfârșit, definim relația n-ară generală R între mulțimile M₁, M₂, …, M_n:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times \dots \times M_n$$

Relația este deci o submulțime a n-uplurilor ordonate. Un exemplu de relație binară poate fi relația „mai mic decât”, adică <. Aceasta o putem defini între niște mulțimi de numere, de exemplu între numerele naturale nenule. Atunci relația va arăta așa:

$$<\subseteq {\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }$$

(Nu te speria că simbolul < stă atât de ciudat în partea stângă. Este doar numele relației. Ar putea fi din nou R, unde R ar reprezenta relația mai mic decât.)

Concret, relația ar arăta așa:

$$\begin{array}{rcl}<=& & (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),\dots \\ & & (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\dots \\ & & (3,4),(3,5),(3,6),(3,7),\dots \\ & & (4,5),(4,6),(4,7),(4,8),\dots \\ & & \dots \\ & & \end{array}$$

Este mulțimea perechilor ordonate astfel încât numărul natural de pe primul loc este mai mic decât numărul natural de pe locul al doilea.

Notarea relațiilor

De obicei numim relațiile cu litere mari R, S etc. sau cu simboluri consacrate: <, ⊆, = etc. Din definițiile de mai sus se vede că o relație este de fapt o mulțime. De altfel, aproape totul în matematică este de fapt o mulțime :-). De aceea, dacă vrem să spunem că elementul r aparține relației R, putem scrie r ∈ R.

De exemplu, putem scrie (1, 3) ∈ < și înseamnă că perechea de numere unu și trei aparține relației mai mic decât. La relațiile binare întâlnim adesea o notare mai plăcută, pe care o știi încă din școala generală. În loc să folosim operatorul de apartenență ∈, scriem simplu 1 < 3. Asemănător, de obicei nu scriem (5, 5) ∈ =, ci scriem 5 = 5.