Sisteme de ecuații liniare

Un sistem de ecuații liniare este o mulțime de m ecuații liniare cu n necunoscute. Rezolvând sistemul, obținem valorile pe care le putem pune în locul celor n necunoscute astfel încât toate ecuațiile să fie adevărate.

Definiția unui sistem de ecuații liniare

Te-ai întâlnit sigur cu un sistem simplu de tipul

$\begin{array}{ccccc} a_{11} x & + & a_{12} y & = & b_{1} \\ a_{21} x & + & a_{22} y & = & b_{2} \end{array}$

unde a₁₁,…,a₂₂, b₁, b₂ sunt numere reale date, iar x și y sunt necunoscute. Acest sistem de ecuații poate avea un număr diferit de soluții – niciuna, una singură sau o infinitate, la fel ca o ecuație liniară obișnuită. În cazul unui sistem de ecuații liniare, întrebarea despre numărul soluțiilor și aflarea lor este mai complicată decât în cazul unei simple ecuații liniare.

Definiția unui sistem de ecuații liniare:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & b_{m} \end{array}$

unde a₁₁, …, a_mn, b₁, …, b_m sunt numere reale. Acest sistem se numește sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute x₁, …, x_n și coeficienții a₁₁, …, a_mn. Un exemplu concret de sistem de ecuații liniare ar putea arăta astfel:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & + & - 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & - 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Dacă însă vreun a_ij este negativ, se obișnuiește să scriem sistemul în această formă:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & - & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Rămâne totuși adevărat că a₁₂ = −2 și a₂₄ = −10.

Scrierea matriceală

Putem transforma acest sistem în forma matriceală. Definim în total trei matrice: una pentru coeficienți, una pentru termenii liberi ai ecuațiilor și una pentru necunoscutele propriu-zise. Matricele vor arăta astfel:

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}), x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$

Matricea A conține coeficienții ecuațiilor inițiale și se numește „matricea sistemului”, matricea b conține termenii liberi, iar matricea x conține necunoscutele. Atunci putem scrie întregul sistem de ecuații ca o singură ecuație

$A x = b$

Această ecuație are sens, pentru că în stânga avem produsul a două matrice, iar în dreapta o matrice, iar dimensiunile se potrivesc. Putem încerca să calculăm membrul stâng. Înmulțim o matrice de tip m × n cu o matrice de tip n × 1, deci matricea rezultată va fi de tip m × 1, va avea m linii și o coloană. Până aici e în regulă.

Aplicăm acum algoritmul clasic de înmulțire a matricelor, începând cu prima linie a matricei A și cu prima coloană a matricei x (nu există altă coloană). Obținem:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n}$

Cu această sumă am obținut primul element al noii matrice, adică valoarea b₁. Dacă punem totul în ecuație, avem:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}$

Am obținut exact prima ecuație din sistemul nostru. În același fel am continua pentru celelalte linii. Mai definim matricea extinsă a sistemului, adică matricea sistemului căreia îi adăugăm matricea b astfel:

$B = (A | b) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{matrix})$

În continuare ne va interesa rangul acestei matrice extinse a sistemului. Rangul matricei inițiale, neextinse, a sistemului îl notăm rang A, iar rangul matricei extinse rang (A|b). Ce relație există între aceste ranguri? Dacă adăugăm matricei A coloana b, pot apărea două situații: dacă această nouă coloană este o combinație liniară a coloanelor matricei A, rangul nu se schimbă. Dacă nu era o combinație liniară, rangul va fi mai mare cu unu.

Teorema Kronecker–Capelli

Rangul matricei extinse este important pentru noi, pentru că are loc o teoremă importantă, teorema Kronecker–Capelli: Sistemul de ecuații Ax = b are soluții dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse a sistemului: rang A = rang (A|b).

Hai să arătăm că această teoremă este adevărată cel puțin într-un sens – dacă x = β este soluție a ecuației Ax = b, atunci rang A = rang (A|b). Dacă aceste ranguri sunt egale, coloana b trebuie să fie o combinație liniară a coloanelor matricei A. Să scriem totul desfășurat. Matricea β are forma:

$β = (\begin{matrix} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{matrix})$

Iar noi afirmăm că, dacă în locul lui x₁ punem β₁ și așa mai departe, toate ecuațiile sistemului devin adevărate:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} β_{1} & + & a_{12} β_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} β_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} β_{1} & + & a_{22} β_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} β_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} & + & a_{m 2} β_{2} & + & \dots & + & a_{m n} β_{n} & = & b_{m} \end{array}$

Rescriem puțin ecuațiile. Dacă ne uităm la prima coloană, vedem că avem mereu valorile a₁₁, a₂₁, …, a_m1, pe care le înmulțim cu aceeași valoare β₁. Dacă separăm coloana într-o matrice aparte, putem da factor comun valoarea β₁ în fața matricei și obținem:

$(\begin{matrix} a_{11} β_{1} \\ a_{21} β_{1} \\ ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} \end{matrix}) = β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix})$

Acum putem rescrie în acest fel întregul sistem:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Pentru ca această ecuație să fie adevărată, matricea din dreapta trebuie să fie o combinație liniară a matricelor coloană din stânga, iar valorile β₁, …, β_n trebuie să fie coeficienții ei.

Am demonstrat astfel că, dacă matricea β este soluție a sistemului, atunci membrul drept al sistemului, matricea b, trebuie să fie o combinație liniară a coloanelor matricei sistemului. Iar dacă o coloană din matricea b este o combinație liniară a coloanelor matricei A, atunci matricea A trebuie să aibă același rang ca matricea (A|b).

În același timp, dacă rang A = rang (A|b) = k și k este egal cu numărul de necunoscute, adică k = n, atunci sistemul are exact o soluție (este compatibil determinat). Dacă k < n, atunci sistemul are o infinitate de soluții (este compatibil nedeterminat), iar pentru a le scrie vom avea nevoie de n − k parametri.

Transformări elementare ale liniilor

Din ecuația precedentă se vede în continuare că, dacă efectuăm asupra matricei (A|b) transformări elementare ale liniilor, soluția sistemului de ecuații nu se schimbă. Dacă am aduna la a doua linie prima linie, am obține ecuația:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} + a_{11} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} + a_{12} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} + a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} + b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Dacă desfacem a doua linie, obținem:

$β_{1} (a_{21} + a_{11}) + β_{2} (a_{22} + a_{12}) + \dots + β_{n} (a_{2 n} + a_{1 n}) = b_{1} + b_{2}$

Desfacem parantezele:

$β_{1} a_{21} + β_{1} a_{11} + β_{2} a_{22} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{2 n} + β_{n} a_{1 n} = b_{1} + b_{2}$

Acum doar grupăm puțin termenii:

$(β_{1} a_{11} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{1 n}) + (β_{1} a_{21} + β_{2} a_{22} + \dots + β_{n} a_{2 n}) = b_{1} + b_{2}$

În prima paranteză avem de fapt prima linie, iar în a doua paranteză vechea a doua linie. Știm că prima linie este egală cu valoarea b₁, iar a doua linie este egală cu valoarea b₂. Asta știm din ecuațiile inițiale. Deci în locul primei paranteze putem scrie b₁, iar în locul celei de-a doua b₂:

$b_{1} + b_{2} = b_{1} + b_{2} .$

La fel, putem înmulți o linie întreagă cu o constantă c ≠ 0 fără să schimbăm validitatea sistemului de ecuații. Atenție însă, nu putem face transformări pe coloane.

Sistem cu o singură soluție

Pe un exemplu vom arăta cum rezolvăm un sistem care are exact o soluție. Fie sistemul de ecuații:

$\begin{array}{ccccccc} 2 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & 7 x_{3} & = & 47 \\ 3 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & x_{3} & = & 50 \\ 3 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 27 \end{array}$

Matricea A va arăta astfel:

$A = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix})$

Acum calculăm rangul acestei matrice:

$(\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 6 & 16 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 7 & - 19 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 21 & 21 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 0 & 78 \end{matrix})$

Vedem că rang A = 3. De aici rezultă și că rang (A|b) = 3, deoarece o matrice de tip 3 × 4 poate avea rangul maxim trei. Sistemul are trei necunoscute, deci întregul sistem are exact o soluție. Cum o aflăm?

Metoda lui Gauss

Metoda lui Gauss (eliminarea gaussiană) constă în aducerea matricei extinse a sistemului la forma eșalon. Aducând matricea la forma eșalon, vom putea afla valoarea unei necunoscute. După ce găsim valoarea unei necunoscute, putem începe să înlocuim această valoare în celelalte ecuații.

Matricea (A|b) are forma:

$(A | b) = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{matrix})$

O aducem la forma eșalon. Vom face aceleași transformări ca la pasul precedent, doar că de data aceasta le aplicăm și coloanei a patra:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 6 & 16 & 2 & 100 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 7 & - 19 & - 41 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 21 & 21 & 189 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 0 & 78 & 312 \end{array}) \end{array}$

Deoarece am făcut transformări elementare ale liniilor, această matrice descrie un sistem de ecuații echivalent – un sistem care are aceeași mulțime de soluții. Rescriem sistemul din forma matriceală în forma obișnuită, folosind coeficienții din ultima noastră matrice:

$\begin{array}{ccccccc} 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & + & 21 x_{3} & = & 141 \\ 21 x_{2} & - & 57 x_{3} & = & - 123 \\ 78 x_{3} & = & 312 \end{array}$

Pornim acum de la ultima ecuație. Ea ne spune că 78x₃ = 312. Ce valoare trebuie să aibă x₃? Este o ecuație liniară simplă, deci

$\begin{array}{rcl} 78 x_{3} & = & 312 \\ x_{3} & = & \frac{312}{78} \\ x_{3} & = & 4 \end{array}$

Avem valoarea primei necunoscute, x₃. Înlocuim această valoare în a doua ecuație. Obținem ecuația:

$\begin{array}{rcl} 21 x_{2} - 57 x_{3} & = & - 123 \\ 21 x_{2} - 57 \cdot 4 & = & - 123 \\ 21 x_{2} & = & - 123 + 228 \\ 21 x_{2} & = & 105 \\ x_{2} & = & \frac{105}{21} \\ x_{2} & = & 5 \end{array}$

Și, în sfârșit, înlocuim ambele valori calculate în prima ecuație:

$\begin{array}{rcl} 6 x_{1} + 9 x_{2} + 21 x_{3} & = & 141 \\ 6 x_{1} + 9 \cdot 5 + 21 \cdot 4 & = & 141 \\ 6 x_{1} + 45 + 84 & = & 141 \\ 6 x_{1} & = & 12 \\ x_{1} & = & 2 \end{array}$

Valoarea necunoscutei x₁ este egală cu doi. În acest moment avem soluția completă. Putem scrie că x = (x₁, x₂, x₃) = (2, 5, 4). După cum se vede, metoda lui Gauss este o metodă simplă, dar eficientă de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare.

Infinitate de soluții

Dacă rang A = rang (A|b) = k și k este mai mic decât numărul de necunoscute, k < n, atunci sistemul are o infinitate de soluții (este compatibil nedeterminat). Să luăm un exemplu simplu:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 12 x_{1} & + & 3 x_{2} & = & 15 \end{array}$

Vedem că a doua ecuație este egală cu de trei ori prima ecuație. Dacă înmulțim prima ecuație cu minus trei și o adunăm la a doua linie, obținem:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 0 x_{1} & + & 0 x_{2} & = & 0 \end{array}$

În acest moment numărul de necunoscute este egal cu doi, n = 2, rangul matricei sistemului este egal cu unu, rang A = 1, iar rangul matricei extinse este și el egal cu unu, rang (A|b) = 1. Avem k < n, deci sistemul are o infinitate de soluții. Cum găsim aceste soluții?

Ne uităm la ecuații. A doua ecuație este adevărată pentru toți x₁, x₂, deci ne interesează doar prima ecuație. De fapt, toate perechile x₁, x₂ care verifică prima ecuație vor forma mulțimea tuturor soluțiilor sistemului dat. Așadar rezolvăm ecuația 4x₁ + x₂ = 5. Aducem ecuația la forma x₂ = 5 − 4x₁.

Ne ajutăm în continuare de un parametru. Alegem un parametru t. Acum vom încerca să exprimăm perechea x₁, x₂ cu ajutorul parametrului t, astfel încât să putem scrie că, de exemplu, toate perechile de forma (t, t + 2) sunt soluții ale sistemului. Deci perechi ca (1, 3) sau (14, 16). Rostul este să exprimăm valoarea unei necunoscute cu ajutorul alteia, ca să știm că, dacă x₁ are o anumită valoare, atunci x₂ va fi, de exemplu, de trei ori mai mare. Ca punct de plecare alegem x₁.

Punem deci egalitatea t = x₁. Dacă necunoscuta x₁ are valoarea t, ce valoare va avea necunoscuta x₂? Vedem din ecuația precedentă că va avea valoarea x₂ = 5 − 4x₁. Deci, dacă x₁ = t, atunci x₂ = 5 − 4t. Putem scrie astfel că toate perechile de forma (t, 5 − 4t) sunt soluții ale sistemului de ecuații.

Putem verifica. Dacă în locul lui t punem unu, avem: x₁ = 1 și x₂ = 5 − 4 · 1 = 1. Înlocuim aceste valori în ecuație: 4 · 1 + 1 = 5, ecuația se verifică.

Dacă în locul lui t punem cinci, avem: x₁ = 5, x₂ = 5 − 4 · 5 = −15. După înlocuirea în ecuație avem: 4 · 5 − 15 = 5. Se verifică.

Soluția generală și soluția particulară

Soluția unui sistem de ecuații scrisă cu ajutorul parametrilor se numește soluție generală. O soluție concretă, adică obținută când în locul parametrilor punem numere concrete, se numește soluție particulară.

Deci, din exemplul precedent: (x₁, x₂) = (t, 5 − 4t) este soluția generală a sistemului de ecuații, iar (1, 1) și (5, −15) sunt soluții particulare.

Dacă avem matricea sistemului A și matricea extinsă a sistemului (A|b) și rangurile lor sunt egale, rang A = rang (A|b) = k, atunci pentru a exprima soluția generală avem nevoie de n − k parametri. Observă că, dacă n = k, nu avem nevoie de niciun parametru. Acesta este cazul în care sistemul are exact o soluție – atunci nu este nevoie de niciun parametru.

Exemplu

Rezolvă următorul sistem de ecuații liniare:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & - & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Mai întâi calculăm rangul matricelor A și (A|b). Aducem matricea extinsă la forma eșalon, din care aflăm rangul ambelor matrice. Hai să facem transformările. (Înmulțim prima linie cu doi, apoi adunăm prima și a doua linie și scădem acest rezultat din a treia linie. Apoi scădem prima linie din a doua linie și, în final, împărțim la loc prima linie la doi.)

$\begin{array}{rcl} (A | b) = (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Din această ultimă matrice vedem deja că rang A = rang (A|b) = k = 2. Numărul de necunoscute este n = 4, deci vom avea nevoie de n − k = 2 parametri. Scriem ecuațiile după ultima matrice:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ - x_{1} & - & 6 x_{3} & = & 0 \end{array}$

Din a doua ecuație obținem

$\begin{array}{rcl} - x_{1} - 6 x_{3} & = & 0 \\ - x_{1} & = & 6 x_{3} \\ x_{1} & = & - 6 x_{3} \end{array}$

Alegem primul parametru, t = x₃. Atunci putem scrie că x₁ = −6t. Putem înlocui asta în prima ecuație:

$\begin{array}{rcl} 3 (- 6 t) - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 18 t - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 14 t - 2 x_{2} + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 2 x_{2} & = & 1 + 14 t - 5 x_{4} \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} x_{4} \end{array}$

Introducem în joc al doilea parametru, s = x₄. Atunci putem scrie că

$x_{2} = - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s$

Obținem astfel soluția generală a sistemului:

$(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (- 6 t, - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s, t, s)$

Putem încerca niște soluții particulare. De exemplu s = t = 0. Atunci obținem: $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (0, - \frac{1}{2}, 0, 0)$ . După înlocuirea în ecuațiile inițiale:

obținem ecuațiile:

$\begin{array}{ccccccccc} 0 & - & 2 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 1 \\ 0 & - & 4 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 2 \\ 0 & - & 8 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 4 \end{array}$

După eliminarea termenilor nuli și după efectuarea înmulțirilor cu fracții obținem:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Încercăm o altă soluție particulară: s = 2, t = 1. Atunci obținem:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - 6 \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 + 5 = - \frac{5}{2} \\ x_{3} & = & 1 \\ x_{4} & = & 2 \end{array}$

Înlocuim în ecuații:

$\begin{array}{ccccccccc} - 18 & - & 2 (- \frac{5}{2}) & + & 4 & + & 10 & = & 1 \\ - 30 & - & 4 (- \frac{5}{2}) & + & 2 & + & 20 & = & 2 \\ - 66 & - & 8 (- \frac{5}{2}) & + & 10 & + & 40 & = & 4 \end{array}$

Simplificăm:

$\begin{array}{ccccccccc} - 4 & + & 5 & = & 1 \\ - 8 & + & 10 & = & 2 \\ - 16 & + & 20 & = & 4 \end{array}$

Și, în final, obținem:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Se pare că soluția generală obținută este corectă.

Capitole: Sisteme de ecuații liniare, Regula lui Cramer, Sisteme omogene

« Anterior: Determinanți

Următor: Regula lui Cramer »