Rangul unei matrice

Rangul unei matrice este numărul care reprezintă câte linii sau coloane independente are matricea.

Definiție

Rangul unei matrice este numărul maxim de linii/coloane liniar independente din matrice. Matricea nulă are rangul zero, orice altă matrice are rangul cel puțin unu. O matrice de tip m × n poate avea rangul cel mult min(m, n). Așadar, dacă o matrice are mai puține linii decât coloane, rangul ei va fi cel mult egal cu numărul de linii. La fel pentru coloane.

Rangul unei matrice se notează rang A. Scriem deci rang A = x.

Cum calculezi rangul

Să vedem acum cum se calculează rangul unei matrice. E destul de simplu. Trebuie să transformi matricea într-o formă din care se vede clar care linii sunt liniar independente. Cel mai des se face acest lucru aducând matricea la forma eșalon (sub diagonală numai zerouri), după care se vede imediat cum stă matricea. Hai să vedem un exemplu – avem această matrice:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& -1\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Trebuie să-i aflăm rangul. Mai întâi să observăm un mic detaliu. Dacă avem două linii pline de numere nenule, ele pot fi, teoretic, liniar dependente. Ar trebui să calculăm ca să ne dăm seama. Dacă însă una dintre linii are un zero pe o anumită poziție, iar cealaltă linie nu are zero pe aceeași poziție, putem afirma cu siguranță că ele nu sunt dependente. Nu vom găsi niciun număr cu care să înmulțim acel zero (și deci toată linia) ca să obținem acolo același număr ca în cealaltă linie. De aceea vom încerca mereu să aducem matricele la forma eșalon, ca să obținem acele zerouri.

Paragraful precedent se poate scrie astfel. Dacă α₁, α₂ ≠ 0, atunci:

$${\alpha }_1\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)+{\alpha }_2\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{ccc}0& a& b\end{array}\right)$$

De aceea încercăm să aducem matricea la o formă asemănătoare, ca să vedem ușor dependențele. Uită-te la exemplul următor:

$$\left(\begin{array}{ccc}4& -5& 1\\ 0& 7& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

Aceasta este o matrice în formă eșalon, nicio linie nu este liniar dependentă. Nu poți exprima a treia linie cu ajutorul primelor două, pentru că, dacă coeficienții α sunt nenuli, pe primele poziții rămâne întotdeauna câte un număr nenul.

Procedeul este de obicei următorul: mai întâi obținem zerouri în prima coloană (în afară de prima linie). Apoi continuăm transformările astfel încât să obținem zerouri în a doua coloană, apoi în a treia și tot așa, până când ajungem la forma eșalon. Numărăm liniile nenule și iată, am aflat rangul matricei. Putem folosi următoarele transformări elementare, care nu schimbă rangul matricei:

• Schimbarea între ele a două linii oarecare.
• Înmulțirea unei linii cu o expresie nenulă oarecare.
• Adunarea unei linii la alta.
• Toate transformările de mai sus se pot aplica și coloanelor.

Exemplu

În matricea de mai sus vom face transformările astfel: ne uităm la relația dintre elementele a₁₁ și a₂₁. Vedem că sunt egale, deci, ca să obținem zero pe poziția a₂₁, trebuie să adunăm linia întâi înmulțită cu −1. Adunăm linia întâi înmulțită cu −1 la linia a doua (sau, altfel spus, scădem linia întâi din linia a doua):

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Acum avem zero acolo unde îl voiam. Mai trebuie să obținem zero pe poziția a₃₁. Acolo este tot un unu, deci scădem pur și simplu prima linie:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$$

Acum avem zerouri în prima coloană, deci ne apucăm cu spor de a doua coloană. Vedem că numerele a₂₂ și a₃₂ sunt opuse, deci ajunge să adunăm liniile:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Am obținut o linie nulă. Transformările sunt terminate, am ajuns la forma eșalon. Acum numărăm doar liniile nenule și am aflat rangul. Este rang A = 2. Această matrice a avut deci rangul doi.

Al doilea exemplu

Încercăm acum să calculăm rangul unei matrice ceva mai mare:

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 5& 1\\ 1& 3& 5& -7\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Rangul unei matrice este numărul maxim de linii liniar independente, deci ne putem permite să amestecăm liniile matricei cum ne place. Aici ar fi comod să avem sus linia care începe cu unu, ca să calculăm mai ușor. Putem deci, fără nicio grijă, să schimbăm între ele prima și a doua linie:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 7& 2& 5& 1\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Acum procedăm la fel ca în exemplul precedent. Trebuie să avem numai zerouri în prima coloană (în afară de prima linie), deci la linia a doua adunăm prima linie înmulțită cu −7, la a treia pe cea înmulțită cu −4 și la ultima pe cea înmulțită cu −2. Prima linie rămâne neschimbată:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& -19& -30& 50\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& 2& 0& 5\end{array}\right)$$

Schimbăm din nou liniile: de data aceasta ar fi bine să aducem ultima linie în locul liniei a doua, din cauza lui doi de pe a doua poziție. Schimbăm linia a doua cu linia a patra:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& -19& -30& 50\end{array}\right)$$

Dar vedem că sub doi avem numerele −17 și −19. Niciunul nu se împarte la doi, ceea ce e incomod, chiar neplăcut. De aceea înmulțim acum linia a treia și linia a patra cu doi:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -34& -38& 56\\ 0& -38& -60& 100\end{array}\right)$$

Acum putem continua transformările, încercând să anulăm a doua coloană. La linia a treia adunăm linia a doua înmulțită cu 17, iar la linia a patra linia a doua înmulțită cu 19:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& -38& 141\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Așa, am ajuns la numere destul de incomode pentru o nouă transformare, dar ne descurcăm noi cumva. Împărțim linia a treia la −38:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Acum înmulțim linia a treia cu 60 și o adunăm la linia a patra:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& 195-\frac{60\cdot 141}{38}\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& -\frac{525}{19}\end{array}\right)$$

Ne-a ieșit un număr urât, dar nenul. Matricea are deci rangul patru și nu conține nicio linie liniar dependentă.

Exemplu cu parametru

Care este rangul matricei A în funcție de parametrul q?

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)$$

Aceasta este o problemă puțin mai grea, pentru că apare parametrul q. Trebuie să aflăm pentru ce valori ale lui q matricea are rangul maxim, dacă are vreodată, și pentru care valori are rangul mai mic. Vom proceda ca de obicei, doar că uneori, în loc de valori concrete, vom calcula cu q abstract. În primul pas mutăm parametrul q într-un loc mai convenabil, anume în colțul din dreapta jos. Schimbăm deci linia a doua cu a treia și apoi prima coloană cu ultima:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ 4& 1& 3\\ q& 5& 8\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)$$

Acum parametrul se află într-un loc potrivit, unde nu prea deranjează. În prima coloană avem însă numere destul de incomode, dar chiar la mijloc avem un unu: îl mutăm în stânga sus, adică schimbăm între ele primele două linii și primele două coloane:

$$\left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 17& 8& 1\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Acum matricea arată bine. Înmulțim prima linie cu −8 și o adunăm la linia a doua:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Înmulțim prima linie cu −5 și o adunăm la linia a treia:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)$$

Bine, prima coloană este cum trebuie. Acum adunăm linia a doua înmulțită cu −1 la linia a treia:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& 0& q+11\end{array}\right)$$

Și am terminat cu transformările matricei. Vedem că prima și a doua linie sunt sigur liniar independente. Linia a treia însă poate fi liniar dependentă. Ea este liniar dependentă dacă este formată numai din zerouri, adică dacă alegem parametrul q astfel încât expresia q + 11 să fie egală cu zero. Evident, dacă q = −11, linia este nulă și deci liniar dependentă.

Concluzia finală: pentru q = −11 matricea are rangul doi, altfel are rangul trei.