Spații vectoriale

Un spațiu vectorial, numit uneori și spațiu liniar, este o mulțime de elemente care trebuie să îndeplinească anumite proprietăți, datorită cărora elementele mulțimii, pe care le numim vectori, se comportă „frumos”.

Un exemplu de spațiu vectorial

Înainte de a defini spațiul vectorial, îți arătăm un exemplu de spațiu vectorial pe care ar trebui să-l cunoști deja din liceu, doar că nu știi că este un spațiu vectorial. Sunt vectorii obișnuiți din plan.

Prin vector în plan înțelegem o pereche ordonată (a, b), unde a, b ∈ ℝ. Sunt coordonatele oricărui punct din spațiul ℝ² (prin care înțelegem produsul cartezian ℝ × ℝ). Un astfel de vector îl putem reprezenta printr-o săgeată din punctul (0, 0) în punctul (a, b). Vectorul (2, 3) ar arăta astfel:

Știm că vectorii se pot aduna după regula (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Suma vectorilor (2, 3) + (4, 1) ar fi egală cu vectorul (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4). Grafic am reprezenta-o astfel:

În același timp putem calcula multiplul de k ori al unui vector, unde k este un număr real. Multiplul de k ori îl scriem k · (a, b). Rezultatul este un vector nou, definit prin k · (a, b) = (k · a, k · b). Grafic, vectorul se „lungește”, se „scurtează” sau își schimbă sensul. Dacă avem vectorul u = (2, 3), atunci vectorii 2 · u, $\frac{1}{2}u$ și −1 · u arată astfel:

Faptul că mulțimea tuturor vectorilor ℝ² cu operațiile definite astfel formează un spațiu vectorial îl vom demonstra mai târziu. Mai întâi definim spațiul vectorial și pe acest spațiu vectorial ℝ² vom arăta pe rând proprietățile.

Definiția spațiului vectorial

Un spațiu vectorial (sau spațiu liniar) este o mulțime nevidă V, ale cărei elemente se numesc vectori. În plus, pe mulțime trebuie să existe două operații: adunarea vectorilor, adică funcția V × V ⟶ V, și înmulțirea unui vector cu un număr real, adică funcția ℝ × V ⟶ V. (Mai general, în loc de mulțimea numerelor reale se poate folosi orice corp, dar despre asta în articolele următoare.) Adunarea vectorilor o notăm cu semnul +, iar înmulțirea cu ·. Aceste două operații trebuie să îndeplinească următoarele condiții. Adică pentru orice x, y, z ∈ V și pentru orice a, b ∈ ℝ trebuie să avem (observă că vectorii x, y, z sunt scriși îngroșat, iar numerele a, b normal):

1. x + y = y + x: adunarea vectorilor este comutativă. Dacă ne întoarcem la exemplul cu vectorii din ℝ², este indiferent dacă adunăm vectorii astfel: (2, 3) + (4, 1) sau invers: (4, 1) + (2, 3) .

• (x + y) + z = x + (y + z): adunarea vectorilor este asociativă. Din nou putem înlocui cu niște vectori din ℝ² și vom vedea că iese.
• a · (b · x) = (a · b) · x: legea asociativă a înmulțirii. Pentru vectorii noștri avem că 4 · (5 · (6, 7)) este același lucru cu (4 · 5) · (6, 7). Ambele exemple duc la vectorul (20 · 6, 20 · 7).
• a · (x + y) = a · x + a · y: legea distributivă pentru vectorii din V. Din nou vedem că 2 · ((2, 3) + (4, 5)) este același lucru cu 2 · (2, 3) + 2 · (4, 5). Ambele expresii duc la vectorul (2 · 6, 2 · 8).
• (a + b) · x = a · x + b · x: distributivitatea față de adunarea numerelor.
• 1 · x = x: dacă înmulțim orice vector cu numărul real 1, valoarea vectorului nu se schimbă. În cazul nostru 1 · (5, 8) = (5, 8).
• Există un element 0 ∈ V astfel încât 0 · x = 0. Zero îngroșat, adică 0, este așa-numitul vector nul, iar zero neîngroșat 0 este pur și simplu numărul zero. Acest punct spune că în V trebuie să existe un vector pe care îl obținem înmulțind orice vector x ∈ V cu numărul zero. Pentru spațiul nostru ℝ² este vectorul (0, 0), pentru că pentru orice vector (a, b) ∈ ℝ² avem 0 · (a,b) = (0, 0).

Acestea sunt toate proprietățile pe care trebuie să le îndeplinească un spațiu vectorial (liniar) V. Dacă înmulțim un vector cu un număr real a, atunci acestui număr a îi spunem scalar. Vorbim astfel adesea despre înmulțirea cu un scalar și ne referim la o expresie de forma a · x, unde a este un număr real, iar x este un vector.

Dubla semnificație a semnului plus +

Atenție, în unele expresii semnul plus + poate avea o dublă semnificație. De exemplu, la punctul distributivitatea față de adunarea numerelor avem egalitatea (a + b) · x = a · x + b · x. Semnul + din membrul stâng adună numere reale, pentru că atât a, cât și b sunt numere reale, în timp ce în membrul drept adună vectori, pentru că rezultatul produsului a · x este un vector.

Această recunoaștere automată se folosește des în matematică – din context este întotdeauna clar ce adunare se are în vedere. Dacă avem expresia x + y și x, y sunt vectori, folosim suma vectorilor. Dacă x, y ar fi numere, am folosi suma obișnuită. Dacă ar fi matrice, am folosi suma matricelor și așa mai departe.

Am putea folosi pentru adunarea vectorilor un alt semn, de exemplu ⊕. Atunci distributivitatea față de adunarea numerelor am putea-o scrie astfel: (a + b) · x = a · x ⊕ b · x. Plusul obișnuit înseamnă aici adunarea numerelor reale a, b, iar semnul ⊕ înseamnă adunarea vectorilor. De cele mai multe ori se folosește însă pentru ambele feluri de adunare același semn + și sensul lui se deduce din context. Același lucru este valabil pentru semnul ·.

Spațiul vectorial R²

În prima parte am definit spațiul vectorial V = ℝ², iar acum vom demonstra că este într-adevăr un spațiu vectorial. Mai întâi trebuie să verificăm dacă operațiile de adunare și de înmulțire sunt bine definite. Adunarea trebuie să adune doi vectori, iar rezultatul trebuie să fie un vector nou. Aceasta este îndeplinită, deoarece (a, b) + (c, d) = (a + c,b + d). Prin adunarea a doi vectori din ℝ² se obține un vector nou din ℝ².

Dacă, de exemplu, am defini adunarea vectorilor ca suma modulelor lor, atunci aceasta nu ar fi o operație de adunare validă într-un spațiu vectorial. Modulul vectorului (a, b) l-am calcula ca $\sqrt{a^2+b^2}$. Rezultatul sumei (3, 4) + (5, 12) ar fi astfel numărul $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+{12}^2}=5+13=18$, care nu este un vector din spațiul ℝ².

În continuare trebuie să verificăm dacă înmulțirea este bine definită. Înmulțirea înmulțește un număr real cu un vector din ℝ², iar rezultatul trebuie să fie un vector nou din ℝ². Și aceasta este îndeplinită, deoarece înmulțirea cu un scalar este definită prin k · (a,b) = (k · a, k · b).

Vom verifica pe rând toate cele 7 proprietăți pe care trebuie să le îndeplinească un spațiu vectorial. În locul vectorilor x, y vom pune vectorii noștri (a, b), (c, d), …, după cum se potrivește; nu te speria de asta.

1. x + y = y + x, comutativitatea adunării vectorilor. Este adunarea vectorilor definită de noi comutativă? Da, este, pentru că este definită prin (a, b) + (c, d) = (a + c,b + d). Dacă în membrul stâng schimbăm vectorii între ei, obținem: (c, d) + (a, b) = (c + a,d + b). Deoarece c + a este suma a două numere reale, iar adunarea numerelor reale este o operație comutativă, avem c + a = a + c și același lucru pentru a doua pereche: d + b = b + d. Deci (a + c,b + d) = (c + a,d + b).

• (x + y) + z = x + (y + z). Aici ne vom juca puțin cu parantezele. În esență sunt transformări simple, doar că vor fi greu de urmărit, pentru că vor fi pur și simplu prea multe paranteze. Încercăm să calculăm această sumă de vectori:

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=((a+c)+e,(b+d)+f)$$

Deoarece a, c, e sunt numere reale, iar adunarea numerelor reale este asociativă, avem (a + c) + e = a + c + e. Același lucru pentru a doua coordonată. Putem scrie astfel că

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c+e,b+d+f)$$

Acum încercăm să adunăm aceiași vectori cu parantezele așezate altfel:

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a,b)+(c+e,d+f)=(a+(c+e),b+(d+f))$$

Din nou avem a + (c + e) = a + c + e, deci putem scrie că

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a+c+e,b+d+f)$$

Vedem astfel că, oricum am pune parantezele în suma a trei vectori, ajungem întotdeauna la același vector (a + c + e, b + d + f). Operația de adunare din ℝ² este deci asociativă și îndeplinește și a doua proprietate a spațiilor vectoriale.

Poți încerca să pui în locul variabilelor a, …, f numere concrete și vei vedea că iese.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Din nou scriem mai întâi membrul stâng al egalității, punând în locul lui x vectorul (c, d):

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=a\cdot (b\cdot c,b\cdot d)=(a\cdot (b\cdot c),a\cdot (b\cdot d))$$

Deoarece înmulțirea numerelor reale este asociativă, obținem egalitatea a · (b · c) = a · b · c. Putem scrie astfel:

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Acum scriem membrul drept al egalității, adică membrul (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=((a\cdot b)\cdot c,(a\cdot b)\cdot d)$$

Din nou avem (a · b) · c = a · b · c, deci:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Vedem că ambii membri ai egalității duc la același vector (a · b · c,a · b · d), deci egalitatea este adevărată.

• a · (x + y) = a · x + a · y. Procedeul este același, scriem membrul stâng al egalității:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=a\cdot \left((c+e,d+f)\right)=(a\cdot (c+e),a\cdot (d+f))$$

Deoarece a, c, e sunt numere reale, pentru care legea distributivă este valabilă, obținem egalitatea a · (c + e) = ac + ae. Putem scrie astfel:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=(ac+ae,ad+af)$$

Membrul drept al egalității:

$$a\cdot (c,d)+a\cdot (e,f)=(ac,ad)+(ae,af)=(ac+ae,ad+af)$$

Vedem că membrul stâng și cel drept al egalității sunt egale după transformări.

• (a + b) · x = a · x + b · x: Vom proceda foarte asemănător cu pasul anterior. Transformarea membrului stâng:

$$(a+b)\cdot (c,d)=((a+b)\cdot c,(a+b)\cdot d)=(ac+bc,ad+bd)$$

Membrul drept:

$$a\cdot (c,d)+b\cdot (c,d)=(ac,ad)+(bc,bd)=(ac+bc,ad+bd)$$

• 1 · x = x: Deși nu cred că cineva a reușit să citească până la acest punct, fie, mergem mai departe :-). Acest punct este cel puțin simplu. Trebuie să verificăm că 1 · (a, b) = (a,b). Aceasta este sigur adevărată, pentru că

$$1\cdot (a,b)=(1\cdot a,1\cdot b)=(a,b)$$

• Există un element 0 ∈ ℝ² astfel încât 0 · x = 0: este vectorul (0, 0). Pentru el avem 0 · (a,b) = (0, 0), pentru că

$$0\cdot (a,b)=(0\cdot a,0\cdot b)=(0,0)$$

Numărul de elemente ale spațiilor vectoriale

Care este cel mai mic spațiu vectorial? Din definiție știm că un spațiu vectorial este o mulțime nevidă V, deci cea mai mică mulțime la care ne putem gândi este o mulțime cu un singur vector. Din al șaptelea punct al definiției știm că spațiul trebuie să conțină vectorul nul. Mulțimea V = {0} este deci candidatul pentru cel mai mic spațiu vectorial.

Adunarea o putem defini prin 0 + 0 = 0, iar înmulțirea prin a · 0 = 0. Orice am face, obținem întotdeauna vectorul nul. Evident, această mulțime cu un singur element va avea toate cele șapte proprietăți cerute.

Știm deja că există un spațiu vectorial cu un singur element. Există un spațiu vectorial care să aibă două elemente? Putem defini pe mulțimea V = {x, 0} operațiile de adunare și de înmulțire astfel încât să rezulte un spațiu vectorial?

Răspunsul este că nu, nu există un spațiu vectorial cu două elemente. Și nu există nici vreun alt spațiu vectorial finit în afară de cel menționat, cu un singur element. Toate celelalte spații vectoriale sunt infinite. Dacă am folosi însă, așa cum s-a sugerat, în locul mulțimii numerelor reale un alt corp, finit, am putea obține și alte spații vectoriale finite.

Rezumat

Definiția spațiilor vectoriale nu este tocmai simplă, vectorii și operațiile trebuie să îndeplinească în total 7 condiții, ceea ce nu e puțin. Pe de altă parte, aceste condiții sunt destul de banale și ușor de înțeles – urmăresc ca vectorii să poată fi folosiți comod în calcule. Datorită condițiilor definite, putem aduna vectorii dintr-un spațiu vectorial fără să trebuiască să verificăm dacă rezultatul adunării nu va fi cumva un vector dintr-un alt spațiu vectorial. Tot așa, putem înmulți un vector cu un număr real și obținem întotdeauna un vector din același spațiu. Faptul că vectorii și operațiile lor respectă legile comutativă, asociativă și distributivă este de asemenea destul de firesc.

Spațiul vectorial l-am putea defini și mai general. În locul mulțimii numerelor reale putem lua orice corp. Despre asta însă în articolele următoare.