✖

Corpuri

Pentru a înțelege explicațiile de mai jos nu ai nevoie de abilități sau cunoștințe speciale de matematică. Îți ajung bazele matematicii de liceu și dorința de a afla sau de a învăța ceva nou.

Sperietoarea numită corp algebric

Dacă chiar numele de corp algebric te sperie, află că nu e nimic de temut. Un astfel de corp este în realitate un lucru foarte simplu, dacă îl privim din unghiul potrivit.

Un corp algebric este o mulțime oarecare împreună cu două operații binare care îndeplinesc anumite condiții. Atât și nimic mai mult. După cum vezi, nu e nimic periculos sau înfricoșător. Și cum știm acum asta, ne putem uita fără teamă ceva mai de aproape.

Mulțimea elementelor corpului

Mulțimea noastră oarecare o vom nota cu T, iar elementelor ei le vom spune elementele corpului. Crede-mă, mulțimea elementelor corpului poate fi absolut oricare. Poate fi mulțimea tuturor numerelor pare, mulțimea tuturor șosetelor care și-au pierdut perechea sau, de ce nu, colecția ta de elefanți de pluș. Singura condiție este poate ca mulțimea T să nu fie vidă. Altfel nu ne-am distra prea mult.

Operația binară

Dacă nu îți e clar de la început ce este de fapt o operație binară, ți-o poți închipui ca pe o mică râșniță. Pui în ea două elemente (de aici „binară” în nume) ale unei mulțimi, învârți ușor de manivelă și iese un alt element din mulțimea ta. O operație binară simplă este, de exemplu, împărțirea. Te interesează cât face 10 / 5? Ia operația binară de împărțire (râșnița), în care mulțimea ta va fi mulțimea numerelor reale. Toarnă în râșniță mai întâi zece și apoi cinci, învârte de manivelă și, ce să vezi, iese doi.

Cele două operații ale noastre le vom numi adunare și înmulțire și le vom nota cu ⊕ și ⊗. Nu te lăsa păcălit de nume. Aceste operații nu trebuie să aibă prea multe în comun cu adunarea și înmulțirea pe care le folosim de obicei. Asta pentru că elementele corpului pot fi orice obiecte. Iar „adunarea” și „înmulțirea” noastre nu se pot aplica elefanților de pluș sau șosetelor.

Operațiile pe un corp

Operațiile ⊕ și ⊗ trebuie să îndeplinească anumite condiții. Nu le putem alege cu totul la întâmplare. Rostul introducerii lor este generalizarea adunării și înmulțirii obișnuite, pe care le folosim pentru numere. Vrem ca aceste operații să poată fi definite astfel încât să le putem aplica elementelor corpului, care, după cum știm deja, pot fi obiecte absolut oarecare, nu doar numere. Totuși, vrem ca operațiile ⊕ și ⊗ să păstreze ceva din sensul de bază al adunării și al înmulțirii. Ne asigurăm de asta introducând zece condiții pe care trebuie să le îndeplinească aceste operații pentru ca structura noastră să fie corp. Aceste condiții se numesc axiomele corpului (mai exact, ale corpului comutativ, fiindcă cerem și comutativitatea înmulțirii; pe scurt, vom spune doar corp). Iată-le:

  1. Comutativitatea adunării — Pentru oricare două elemente a, b din corpul T trebuie să avem a ⊕ b = b ⊕ a.
  • Asociativitatea adunării — Pentru oricare trei elemente a, b, c din corpul T trebuie să avem (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
  • Existența elementului neutru la adunare — Trebuie să existe un element al corpului T, pe care îl notăm 0 (atenție, nu îl confunda cu numărul 0), cu proprietatea că pentru orice element a din corpul T avem a ⊕ 0 = a.
  • Existența elementului simetric (opusului) — Pentru fiecare element a din corpul T trebuie să existe un element al corpului T, pe care îl notăm -a, cu proprietatea că a ⊕ −a = 0.
  • Comutativitatea înmulțirii — Pentru oricare două elemente a, b din corpul T trebuie să avem a ⊗ b = b ⊗ a.
  • Asociativitatea înmulțirii — Pentru oricare trei elemente a, b, c din corpul T trebuie să avem (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).
  • Existența elementului neutru la înmulțire — Trebuie să existe un element al corpului T, pe care îl notăm 1 (atenție, nu îl confunda cu numărul 1), cu proprietatea că pentru orice element a din corpul T avem a ⊗ 1 = a.
  • Existența elementului invers — Pentru fiecare element a din corpul T, diferit de 0, trebuie să existe un element al corpului T, pe care îl notăm a−1, cu proprietatea că a ⊗ a−1 = 1.
  • Distributivitatea — Pentru oricare trei elemente a, b, c din corpul T trebuie să avem a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).
  • Netrivialitatea — Elementul nul și elementul unitate nu pot fi unul și același. Deci 0 ≠ 1

Pentru cine vrea să se antreneze în formalismul matematic, am scris aici axiomele corpului așa cum se notează în limbajul matematicienilor.

  1. ∀a,b ∈ T   a ⊕ b = b ⊕ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
  • ∃0 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊕ 0 = a
  • ∀a ∈ T   ∃−a ∈ T   a ⊕ −a = 0
  • ∀a,b ∈ T   a ⊗ b = b ⊗ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
  • ∃1 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊗ 1 = a
  • ∀a ∈ T   ∃a−1 ∈ T, a ≠ 0   a ⊗ a−1 = 1
  • ∀a,b,c ∈ T   a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
  • 0 ≠ 1

Poate te gândești acum că sunt îngrozitor de multe axiome. Dar toate sunt ușor de înțeles dacă ne dăm seama ce înseamnă. Primele patru descriu proprietățile obișnuite ale adunării, iar următoarele patru proprietățile obișnuite ale înmulțirii, care sunt, pe deasupra, foarte asemănătoare cu primele patru. A noua axiomă spune în ce relație se află adunarea și înmulțirea. Doar a zecea este mai degrabă o chestiune tehnică, care face ca un corp să nu poată avea proprietăți ciudate.

Observă cât de frumos am ocolit introducerea scăderii și a împărțirii. Aceste operații se definesc prin adunarea elementului opus și prin înmulțirea cu elementul invers. Așadar, de exemplu, 4 − 2 este doar o prescurtare pentru 4 + (−2), iar 4 / 2 este doar o prescurtare pentru 4 · 2−1.

Paradă de corpuri

Acum am introdus formal noțiunea de corp algebric. Dacă vrem să spunem intuitiv ce este de fapt un corp, putem zice că este o structură care ne permite să adunăm, să scădem, să înmulțim și să împărțim obiecte oarecare, pe care putem defini aceste operații, și anume într-un mod asemănător cu felul în care efectuăm aceste operații în aritmetica elementară.

Primul nostru corp

Acum că ne-am imaginat și am descris atât de frumos corpurile, hai să construim unul adevărat. Mai întâi alegem mulțimea elementelor corpului. Deocamdată nu vom experimenta prea mult cu elefanți de pluș sau cu șosete și vom alege ca elemente ale corpului numere naturale. Ca totul să fie într-adevăr simplu, luăm doar numerele 0, 1, 2, 3, 4. Mulțimea noastră T va arăta deci așa:

T={0,1,2,3,4}

Acum mai rămâne doar să definim cu iscusință operațiile ⊕ și ⊗. Ne ajutăm de adunarea și înmulțirea pe care le cunoaștem deja din aritmetică. Le modificăm doar puțin, ca să funcționeze și pe corpul nostru.

  • Operația ⊕ Suma a două elemente a ⊕ b o calculăm aflând restul împărțirii la cinci al sumei a + b . Adunările în corpul nostru vor arăta deci așa: 1 ⊕ 1 = 2    1 ⊕ 3 = 4    2 ⊕ 3 = 0    4 ⊕ 2 = 1 etc.
  • Operația ⊗ Produsul a două elemente a ⊗ b îl calculăm aflând restul împărțirii la cinci al produsului ab . Înmulțirile în corpul nostru vor arăta deci așa: 1 ⊗ 1 = 1    2 ⊗ 2 = 4    2 ⊗ 3 = 1    4 ⊗ 2 = 3    etc.

Gata. Acum avem un corp în toată regula. Mai trebuie doar să verificăm toate axiomele, ca să fim siguri că am construit cu adevărat un corp și nu o caricatură.

  • Comutativitatea și asociativitatea adunării și înmulțirii le poți verifica sigur singur, la fel și distributivitatea.
  • Din felul în care am definit adunarea și înmulțirea rezultă și că există un element nul (în cazul nostru este întâmplător chiar numărul 0) și un element unitate (în cazul nostru 1), care sunt diferite între ele.
  • Acum ne mai rămâne să verificăm doar existența elementului opus și a celui invers. Cu siguranță vedem cu toții că pentru fiecare număr din mulțimea {0, 1, 2, 3, 4} există un număr din aceeași mulțime astfel încât suma lor este zero sau cinci (adică, în corpul nostru, 0).
  • În mod asemănător este și la înmulțire: pentru fiecare număr nenul din această mulțime există un număr cu care produsul dă restul 1 la împărțirea cu cinci (adică, în corpul nostru, 1). De exemplu, numărul 4 are elementul invers 4, deoarece 4 · 4 = 16 și la împărțirea cu 5 obținem restul 1. Încearcă să găsești celelalte elemente inverse!

Exemple de alte corpuri

Mai devreme am construit un corp cu cinci elemente. Se dovedește că în același mod se pot construi și alte corpuri, în care numărul elementelor este un număr prim. Astfel de corpuri se numesc corpuri de clase de resturi și se notează Zp, unde p este numărul elementelor corpului. Sunt foarte des folosite atât în matematică și informatică, cât și, desigur, în diverse exerciții de la lucrările scrise.

Se pot construi corpuri și cu un număr de elemente care nu e prim? Da, se pot, dar nu mai merge în felul în care am arătat adineauri. De ce? Închipuie-ți un corp construit prin procedeul descris mai sus, care are doar patru elemente. În el avem 2 ⊗ 2 = 0. Deci produsul a două numere nenule este zero. Asta nu are voie să se întâmple într-un corp. Nu este interzis direct în axiomele corpului, dar se poate deduce destul de ușor din ele. Se dovedește însă că, dacă în loc de numere se folosesc polinoame ca elemente ale corpului, se pot construi și corpuri al căror număr de elemente este o putere a unui număr prim. Deci există un corp cu patru elemente, fiindcă patru este o putere a lui doi.

Desigur, sunt posibile și corpuri cu un număr infinit de elemente. De exemplu, mulțimea numerelor reale împreună cu adunarea și înmulțirea noastre obișnuite formează de asemenea un corp. Asta nu e valabil doar pentru numerele reale, ci și pentru cele raționale și pentru cele complexe. Numerele naturale și cele întregi nu formează corp, pentru că le lipsesc elementele opuse, respectiv inverse.

Și am păstrat ce e mai bun pentru final. Nimeni nu ne impune, desigur, ca un corp să fie format din numere, polinoame sau măcar din obiecte matematice. Așa cum am mai spus, îți poți construi un corp de șosete, de elefanți de pluș etc. Singura problemă va fi probabil cum să definești adunarea și înmulțirea pe elefanți. Interesant este că nu vei reuși niciodată să construiești un corp care să conțină șase șosete. Pentru că șase nu este nici număr prim, nici putere a unui număr prim. Dar poți construi liniștit un corp care numără șaptesprezece șosete, le numerotezi pe fiecare (șoseta albă va fi 0, cea neagră 1, cea verde 2 etc.) și apoi le aduni exact așa cum am adunat noi în corpul claselor de resturi.

Și la ce ne folosesc toate astea?

Dacă ai citit până aici, poate te întrebi la ce ne trebuie, pentru Dumnezeu, o structură atât de năstrușnică precum corpul algebric. Ei bine, corpurile sunt foarte importante, atât din punct de vedere teoretic, pentru că descriu și mai ales generalizează ceea ce s-ar putea numi calcul, adică aritmetica, cât și din punct de vedere practic, pentru că multe probleme de matematică sau de informatică se rezolvă mai ușor dacă ni le închipuim ca pe un calcul în corpuri. Corpurile finite au, de exemplu, o mare importanță pentru codurile de pe CD-uri sau DVD-uri. Cât despre algebra liniară propriu-zisă, corpurile sunt piatra de temelie pentru alte structuri, mai complicate și, prin urmare, mult mai utile și mai interesante, cum sunt spațiile vectoriale. Acestea formează un fel de bază a întregii algebre liniare.

Autorul acestui articol este Lishaak.