Matrice

O matrice peste un corp P este o funcție {1, 2, …, n} × {1, 2, …, m} → P. O matrice se notează de obicei cu litere mari de tipar: A = (…). Iar acum, pe românește.

Noțiuni de bază

O matrice este pur și simplu un fel de tabel cu n coloane și m linii, iar numărul de linii și de coloane nu se notează întotdeauna la fel, deci fii atent. În fiecare celulă a tabelului se află un număr sau o altă expresie. O matrice nu trebuie să fie neapărat numerică, deși la început probabil nu vei întâlni alte matrice. Iată cum poate arăta o matrice:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 5\\ 8& 5& 51\end{array}\right)$$

Această matrice are două linii și trei coloane. Elementele matricei se notează cu indici, iar în loc de litera mare se folosește litera mică: a₁₁ = 0 sau a₂₃ = 51. Primul indice arată linia, iar al doilea coloana.

Tipuri speciale de matrice

Matricele pot avea diverse proprietăți, iar unele matrice speciale au chiar nume proprii.

Matricea pătratică este o matrice care are același număr de linii și de coloane. Dacă o matrice nu este pătratică, ea este dreptunghiulară. Exemplu de matrice pătratică:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 5\\ 8& 5& 23\\ 47& 154& 2\end{array}\right)$$

Matricea nulă este o matrice care are zero pe toate pozițiile. a_ij = 0.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Matricea unitate I_n este o matrice pătratică care are unu pe diagonala principală și zero peste tot în rest. Diagonala principală este, ca să zicem așa, „diagonala” de la stânga la dreapta. Sunt, pe scurt, numerele de pe pozițiile în care i = j.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

Matricea în formă eșalon este o matrice care are liniile nule la sfârșit (sau nu are nicio linie nulă), iar fiecare linie nenulă începe cu mai multe zerouri decât linia precedentă. Toate acestea sunt matrice în formă eșalon:

$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& \pi \\ 0& 0& 1\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),A_3=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 8\\ 0& 0& 0& 5& 1\\ 0& 0& 0& 0& 5\end{array}\right)$$

Matricea transpusă a matricei A este matricea A^t, pentru care $a_{ij}=a_{ji}^t$, adică elementul care se afla pe linia i și coloana j va fi în matricea transpusă pe linia j și coloana i. Pe scurt, schimbi liniile matricei cu coloanele.

$$\begin{array}{rcl}{\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 5\\ 8& 5& 23\\ 47& 154& 2\end{array}\right)}^t& =& \left(\begin{array}{ccc}0& 8& 47\\ 1& 5& 154\\ 5& 23& 2\end{array}\right)\\ {\left(\begin{array}{ccc}3& 4& 5\\ 6& 7& 8\end{array}\right)}^t& =& \left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 4& 7\\ 5& 8\end{array}\right)\end{array}$$

Matricea simetrică este o matrice pătratică A care verifică egalitatea A = A^t. Elementele simetrice față de diagonală sunt egale. Putem deci scrie a_ij = a_ji.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}9& 3& 4\\ 3& 7& 0\\ 4& 0& 2\end{array}\right)$$

Matricea antisimetrică este aproape la fel ca matricea simetrică, doar că elementele de pe cealaltă parte au semn opus: A = −A^t. Din acest motiv, elementele de pe diagonala principală trebuie să fie nule, pentru că a = −a = 0.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -3& -4\\ 3& 0& 5\\ 4& -5& 0\end{array}\right)$$

Matricea diagonală este o matrice care are zerouri peste tot, în afară de diagonala principală. Mai exact, peste tot în rest trebuie să fie zerouri, iar ce se află pe diagonala principală nu este precizat.

$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}9& 0& 0\\ 0& 7& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Operații de bază cu matrice

Matricele se pot aduna, se pot înmulți cu un număr și se pot înmulți și între ele.

Adunarea matricelor este destul de intuitivă. Dacă matricele sunt de același tip (= același număr de coloane și de linii), matricea rezultată va avea pe aceleași poziții sumele numerelor de pe pozițiile corespunzătoare din matricele inițiale. Cu alte cuvinte, dacă adunăm matricele A + B = C, atunci a_ij + b_ij = c_ij.

$$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 5\\ 8& 5& 23\\ 47& 154& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 3\\ 10& 20& 30\\ 7& -54& -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& 5& 8\\ 18& 25& 53\\ 54& 100& -10\end{array}\right)$$

Adunarea matricelor este evident comutativă și asociativă. A + B = B + A și A + (B + C) = (A + B) + C.

Înmulțirea unei matrice cu un număr este de asemenea intuitivă. Iei numărul și înmulțești cu el fiecare element al matricei, nimic mai mult. k · A = k · a_ij.

$$5\cdot \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 5\\ 8& 5& 23\\ 47& 154& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 5& 25\\ 40& 25& 115\\ 235& 770& 10\end{array}\right)$$

Înmulțirea matricelor

Înmulțirea matricelor este ceva mai complicată, pentru că nu mai este intuitivă, așa cum te-ai aștepta. Nu ajunge să înmulțim elementele corespunzătoare. În primul rând, matricele trebuie să îndeplinească condiția ca numărul de coloane ale primei matrice să fie egal cu numărul de linii ale celei de-a doua. Restul poate fi oarecare. Acum putem defini produsul (n este numărul de coloane ale primei matrice):

$$(A\cdot B{)}_{ij}=\sum _{p=1}^n{a}_{ip}\cdot b_{pj}$$

Acum știi tot, nu-i așa? Să încerc să explic și pentru cei mai puțin ageri la minte :-). Iei prima linie a primei matrice și prima coloană a celei de-a doua. Acum înmulțești primul element cu primul element, aduni produsul celui de-al doilea element cu al doilea element și tot așa. Astfel obții în noua matrice C elementul c₁₁. Cel mai bine este să vedem un exemplu. Înmulțim aceste două matrice:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$$

Alegem acum prima linie a primei matrice și prima coloană a celei de-a doua:

$$A=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{1}}& \boxed{\text{2}}\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{5}}& 6\\ \boxed{\text{7}}& 8\end{array}\right)$$

Pentru claritate, notăm noua matrice cu C. Ca să obținem primul element al acestei matrice, trebuie să calculăm: c₁₁ = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁. Atenție: pe primul loc în indice este linia, apoi coloana. După înlocuire obținem: 1 · 5 + 2 · 7 = 19. Primul element are valoarea 19:

$$C=\left(\begin{array}{cc}19& ?\\ ?& ?\end{array}\right)$$

Următorul element, c₁₂, îl obținem la fel, doar că luăm prima linie și a doua coloană. Prin acest calcul lung obținem de fiecare dată elementul pe care cele două îl au în comun. Prima linie și prima coloană au în comun elementul de pe poziția c₁₁, prima linie și a doua coloană au în comun c₁₂. Se vede frumos în figura următoare:

Acum calculez repede și restul elementelor:

$$\begin{array}{rcl}{c}_{12}& =& a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}=1\cdot 6+2\cdot 8=22.\\ c_{21}& =& a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}=3\cdot 5+4\cdot 7=43.\\ c_{22}& =& a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}=3\cdot 6+4\cdot 8=50.\end{array}$$

Scriem aceste numere în matrice:

$$C=\left(\begin{array}{cc}19& 22\\ 43& 50\end{array}\right)$$

Corectitudinea rezultatului o poți verifica, de exemplu, în Excel sau în LibreOffice Calc, care au funcții pentru lucrul cu matrice. Poți folosi și un calculator online pentru înmulțirea matricelor.

Acum câteva informații generale despre înmulțirea matricelor. Mai întâi, înmulțirea matricelor nu este comutativă. În general nu este adevărat că A · B = B · A, deși, desigur, un astfel de caz se poate întâmpla. În schimb, înmulțirea matricelor este asociativă. Este chiar distributivă față de adunare: A (B + C) = AB + AC. Dacă înmulțim două matrice a_ix · b_xn, matricea rezultată va fi de tipul i × n (va avea tot atâtea linii câte are prima matrice și tot atâtea coloane câte are a doua matrice).

Exemple

Se dau aceste trei matrice:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 8\\ 10& 12& 4\\ 4& 5& 9\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}8& 9\\ -5& 4\\ 10& -1\end{array}\right).$$

Calculează produsul matricelor A · B.

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}4& 2& 8\\ 10& 12& 4\\ 4& 5& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}36& 41& 43\\ 90& 98& 106\\ 144& 155& 169\end{array}\right)$$

Calculează produsul matricelor B · A.

Atenție: înmulțirea matricelor nu este comutativă, deci nu putem afirma cu certitudine că rezultatul va fi același ca în cazul precedent. Trebuie să calculăm totul din nou:

$$\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 8\\ 10& 12& 4\\ 4& 5& 9\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}68& 82& 96\\ 86& 112& 138\\ 87& 105& 123\end{array}\right)$$

Calculează produsele A · C și C · B.

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}8& 9\\ -5& 4\\ 10& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}28& 14\\ 67& 50\\ 106& 86\end{array}\right)$$

Al doilea produs nu se poate calcula, pentru că numărul de coloane ale primei matrice este diferit de numărul de linii ale celei de-a doua.

Transformări elementare

Ca să putem lucra eficient cu matrice, trebuie să definim niște transformări elementare. În primul rând, putem înmulți o linie/coloană a matricei cu un număr diferit de zero. Înmulțirea se manifestă la fel ca înmulțirea întregii matrice cu k, dar numai în linia/coloana respectivă.

A doua transformare este adunarea liniei j înmulțite cu k la linia i. La fel pentru coloane. Sună puțin înfricoșător, dar în realitate este simplu. Vom arăta pentru k = 1. Avem această matrice:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$$

Acum adunăm la prima linie a doua linie. Luăm deci a doua linie și adunăm numerele de pe pozițiile corespunzătoare la numerele din prima linie. Numerele din a doua linie rămân neschimbate, se modifică doar prima linie:

$$\left(\begin{array}{ccc}5& 7& 9\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$$

Acum putem continua transformările. Încercăm să adunăm dublul primei linii la a treia linie. Luăm din această matrice nou obținută prima linie, o înmulțim cu doi, obținând linia (10, 14, 18), și adunăm aceste numere la a treia linie. Din nou – prima linie nu se schimbă, se modifică doar a treia linie:

$$\left(\begin{array}{ccc}5& 7& 9\\ 4& 5& 6\\ 17& 22& 27\end{array}\right)$$

Acum adunăm din nou la a treia linie suma dintre prima și a doua linie. În fond nu este nimic nou, pentru că, dacă adunăm la a treia linie mai întâi a doua linie și apoi prima linie, trebuie să ajungem la același rezultat. Suma primei și a celei de-a doua linii va fi: (5, 7, 9) + (4, 5, 6) = (9, 12, 15). Suma acestei linii cu a treia linie va fi apoi: (9, 12, 15) + (17, 22, 27) = (26, 34, 42).

$$\left(\begin{array}{ccc}5& 7& 9\\ 4& 5& 6\\ 26& 34& 42\end{array}\right)$$

Și încă o transformare pe coloane (acestea se folosesc de obicei mai rar, pentru că nu sunt la fel de clare). Adunăm prima coloană la a doua coloană:

$$\left(\begin{array}{ccc}5& 12& 9\\ 4& 9& 6\\ 26& 60& 42\end{array}\right)$$

Și, în sfârșit, înmulțim a doua linie cu doi:

$$\left(\begin{array}{ccc}5& 12& 9\\ 8& 18& 12\\ 26& 60& 42\end{array}\right)$$

Dependența liniară

Acum să explicăm și ce sunt liniile/coloanele dependente. O linie este liniar dependentă dacă ea se poate exprima ca o combinație liniară a celorlalte linii ale matricei. Pe scurt, dacă poți aduna diverse linii astfel încât să obții linia căutată, atunci acea linie este liniar dependentă. Exemplu:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 6& 9& 12\end{array}\right)$$

Dacă iei dublul primei linii și a doua linie, obții a treia linie. Dacă scazi această combinație din a treia linie, obții o linie nulă (o linie care conține numai zerouri). Această linie este dependentă. Transformările le facem deci astfel (înmulțim prima linie cu doi, o adunăm la a doua linie, apoi scădem din a treia):

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 6& 9& 12\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 4& 5& 6\\ 6& 9& 12\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 6& 9& 12\\ 6& 9& 12\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 6& 9& 12\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Dacă avem o matrice A cu n linii și A_i este linia i, spunem că matricea nu conține nicio linie liniar dependentă dacă:

$${\alpha }_1{A}_1+{\alpha }_2{A}_2+\dots +{\alpha }_n{A}_n=\mathbf{0}$$

dacă și numai dacă α₁, α₂, …, α_n = 0. Zero din partea dreaptă a ecuației reprezintă linia nulă. Adică dacă singura soluție a acestei ecuații este soluția nulă. Dacă găsim o altă soluție, atunci matricea conține o linie liniar dependentă. Analog pentru coloane. Pentru matricea precedentă avem:

$$\begin{array}{rcl}& & 2\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)+1\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 6\end{array}\right)-1\left(\begin{array}{ccc}6& 9& 12\end{array}\right)=\\ & & =\left(\begin{array}{ccc}6& 9& 12\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}6& 9& 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$

Valorile alfa sunt deci α₁ = 2, α₂ = 1, α₃ = −1.

Numărul de linii sau coloane independente este dat de rangul matricei.

Matrice inversabile și matrice singulare

O matrice se numește inversabilă (nesingulară) dacă are rang maxim (adică dacă nu conține nicio linie liniar dependentă) și dacă este pătratică. O matrice pătratică se numește singulară dacă nu este inversabilă (adică dacă matricea conține cel puțin o linie liniar dependentă). Aceste două noțiuni sunt destul de importante, mai exact multe definiții se bazează pe ele. Multe lucruri sunt definite doar dacă matricea este inversabilă.

Articole înrudite

• Rangul unei matrice
• Inversa unei matrice
• Determinantul unei matrice