Inversa unei matrice

Inversa unei matrice este definită pentru matricele pătratice inversabile. Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea unitate.

Definiție

Inversa se poate calcula numai pentru o matrice pătratică; pentru o matrice dreptunghiulară inversa nu este definită. Inversa matricei A (notată A⁻¹) există, în plus, doar dacă matricea este inversabilă (nesingulară), adică nu are linii liniar dependente. Această matrice este atunci determinată în mod unic. Cele două proprietăți principale ale inversei sunt:

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

Iar proprietatea cea mai importantă a inversei (care este în același timp și definiția ei):

$$A\cdot A^{-1}=I_n$$

I_n este matricea unitate.

Cum calculezi inversa unei matrice

Să trecem acum la metoda de calcul. Cel mai simplu algoritm este metoda lui Gauss (eliminarea gaussiană), care constă în a aduce matricea A la forma unitate prin transformări elementare: scrii alături de ea matricea unitate și aplici acesteia exact aceleași transformări ca matricei A. La sfârșitul calculului ai în stânga matricea A adusă la matricea unitate, iar în dreapta inversa ei. Să încercăm pe un exemplu simplu:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

La o privire rapidă vedem că matricea este inversabilă, deci are sens să-i calculăm inversa. Când calculăm inversa, scriem de obicei așa:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)$$

Acum aducem matricea din stânga la matricea unitate și facem aceleași transformări și în matricea din dreapta. Adunăm linia întâi înmulțită cu −3 la linia a doua. Mai întâi matricea din stânga:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& 0& 1\end{array}\right)$$

Acum adunăm linia întâi a matricei din dreapta, înmulțită cu −3, la linia a doua a matricei din dreapta:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Acum trebuie să obținem zero pe poziția a₁₂. Ajunge să adunăm linia a doua la prima. De data aceasta fac ambele transformări într-un singur pas:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Și acum scăpăm de acel −2 împărțind toată linia a doua la −2:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Inversa obținută este:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Dacă vrei să verifici dacă inversa calculată este corectă, înmulțește-o cu matricea inițială:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Pentru verificare te poți uita și pe WolframAlpha.

Calculul cu ajutorul determinantului

Inversa unei matrice se poate calcula și cu ajutorul determinantului. Dacă avem o matrice inversabilă A, atunci inversa A⁻¹ are elementele $a_{ij}^{-1}$ egale cu:

$$a_{ij}^{-1}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

În stânga avem i,j, dar la numărător avem j,i; fii atent, nu este o greșeală că sunt inversate. La numărător avem matricea A_j,i, care este o submatrice a matricei A, obținută eliminând din A linia j și coloana i. Așadar, dacă

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

atunci avem:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{⧸}1& \text{⧸}2& \text{⧸}3\\ \text{⧸}4& 5& 6\\ \text{⧸}7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right),A_{1,3}=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right),A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right)$$

Dacă nu-ți place că indicii sunt inversați, putem scrie formula și așa:

$$(a_{ij}^{-1}{)}^t=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Cu alte cuvinte, dacă nu inversezi indicii, calculezi transpusa inversei. Dacă transpui încă o dată această matrice transpusă, obții inversa.

Calculul prin această metodă este de obicei lung și se potrivește mai ales prelucrării automate, pentru că este foarte direct. În exemplu vom încerca să calculăm doar două numere. Fie deci matricea:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right)$$

Mai întâi calculăm determinantul întregii matrice; el apare la numitorul fracției:

$$detA=-1$$

Acum calculăm primul element al inversei. Îl notăm $a_{11}^{-1}$. El va fi egal cu:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+1}\cdot \left|A_{1,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Avem nevoie de submatricea A_1,1. Eliminând prima linie și prima coloană obținem:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& -1\end{array}\right)$$

Acum trebuie să calculăm determinantul acestei matrice:

$$det{A}_{1,1}=8$$

Și acum putem înlocui în formulă:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^2\cdot 8}{-1}=\frac{1\cdot 8}{-1}=-8$$

Și avem primul rezultat pentru inversă.

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Al doilea număr îl obținem astfel:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+2}\cdot \left|A_{2,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Determinantul submatricei va fi egal cu

$$det{A}_{2,1}=\left|\begin{array}{cc}-4& 5\\ -5& -1\end{array}\right|=29$$

Înlocuind peste tot obținem:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^3\cdot 29}{-1}=\frac{-1\cdot 29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Încă o piesă din puzzle:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 29& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Și tot așa, mai departe.