Factorialul

Factorialul numărului n este egal cu produsul tuturor numerelor naturale nenule mai mici sau egale cu n. Factorialul se notează cu semnul exclamării: n!. Pentru zero se definește 0! = 1. Factorialul se folosește mai ales în combinatorică, unde cu ajutorul lui se calculează, de exemplu, permutările. De pildă, factorialul lui cinci este 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Definiția factorialului

Factorialul se poate defini în mai multe moduri. Cel mai simplu este probabil acesta:

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{dacă }n=0\\ n\cdot (n-1)!& \text{altfel}\end{array}$$

Putem da și o definiție cu ajutorul produsului:

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

Sau, în sfârșit, cu ajutorul integralei:

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

(Detalii găsești pe forumul de matematică.)

Calcule cu factoriale

Factorialele apar adesea în fracții. Aici se folosește faptul că n! = n · (n − 1)!. Egalitatea rezultă din definiție, iar noi o vom arăta pe un exemplu. Știm că 4! este egal cu produsul numerelor naturale 4 · 3 · 2 · 1. Putem scrie că produsul 3 · 2 · 1 este egal cu factorialul lui trei: 3 · 2 · 1 = 3!. Prin urmare, factorialul lui patru se scrie 4! = 4 · 3!.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Datorită acestui fapt, multe factoriale din fracții se pot simplifica eficient. Un exemplu – simplifică expresia:

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

Simplificarea o facem după formula pe care tocmai am menționat-o. La numărător putem scrie factorialul ca n · (n − 1)!, iar acesta se poate descompune și mai departe (după aceeași formulă) în n · (n − 1) · (n − 2)!. Acum putem simplifica frumos fracția:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

Alt exemplu:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

Și ultimul exemplu cu factoriale:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$