Triunghiul lui Pascal

Triunghiul lui Pascal este format din numere și are proprietatea că numărul aflat sub alte două numere este egal cu suma lor. Să construim un astfel de triunghi al lui Pascal și apoi să vedem la ce ne poate fi util.

Cum construiești triunghiul lui Pascal

Pe laturile triunghiului scriem numai cifra 1, iar interiorul îl completăm deocamdată cu semne de întrebare:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Acum calculăm primul semn de întrebare – adunăm cele două numere de deasupra lui și obținem 1 + 1 = 2:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

La fel calculăm semnele de întrebare de pe rândul următor. Mai întâi obținem 1 + 2 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Apoi obținem 2 + 1 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Continuăm în același fel și, cu fiecare rând nou, obținem o parte nouă a triunghiului lui Pascal:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Triunghiul lui Pascal este, desigur, infinit, putem construi tot mai multe rânduri. Mereu însă are loc următorul fapt: pe margini avem cifra 1, iar în interiorul triunghiului avem numere obținute ca suma numerelor de deasupra lor. De exemplu, numărul 15 din ultimul rând s-a obținut ca suma numerelor 5 și 10 de deasupra lui.

Proprietățile de bază ale triunghiului lui Pascal

Prima proprietate de bază am spus-o deja: pe laturile triunghiului avem mereu cifra 1:

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

Pe „a doua diagonală” avem toate numerele naturale nenule:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Ai observat, de altfel, că triunghiul lui Pascal este simetric? Fiecare rând este la fel, fie că îl citești de la stânga la dreapta, fie de la dreapta la stânga.

Numerele triunghiulare

Pe a treia diagonală avem numerele 1, 3, 6, 10, 15…

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Ce e interesant la ele? Aceste numere se numesc numere triunghiulare. Imaginează-ți că ai mai multe cercuri și vrei să le aranjezi sub forma unui triunghi. Câte cercuri ți-ar trebui? Privește cu atenție figura următoare:

Vedem că pentru un triunghi cu latura 1 ne trebuie exact un cerc. Pentru latura de lungime doi ne trebuie trei cercuri, pentru lungimea trei ne trebuie șase cercuri, iar pentru lungimea patru ne trebuie zece cercuri. Numărul de cercuri de care avem nevoie este mereu un număr triunghiular, pe care îl găsim în triunghiul lui Pascal.

Suma rândurilor

Ce se întâmplă dacă încercăm să adunăm fiecare rând din triunghiul lui Pascal?

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

Vedem că suma fiecărui rând este dublul sumei rândului precedent. Toate sumele sunt deci egale cu o putere a lui doi. Dacă notăm rândul de sus drept rândul zero, putem scrie că suma rândului al n-lea din triunghiul lui Pascal este egală cu 2ⁿ.

Numerele prime

Notăm rândul de sus al triunghiului drept rândul zero. Atunci, dacă alegem un rând al n-lea, unde n este număr prim, toate numerele acestui rând sunt divizibile cu n (în afară de cifrele 1 de pe margini).

De exemplu, luăm n = 5. Numărul cinci este număr prim. Rândul al cincilea arată astfel:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Fiecare dintre numerele încadrate este divizibil cu cinci.

Binomul lui Newton

Cunoști sigur formulele pentru calculul lui (a + b)² sau (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Putem observa că coeficienții termenilor corespund numerelor din triunghiul lui Pascal. Să ne uităm, de exemplu, la expresia

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Mai întâi scriem la termenii a³ și b³ înmulțirea cu unu, ca să se vadă mai clar:

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

Acum vedem că coeficienții cu care înmulțim termenii sunt aceiași ca rândul al treilea al triunghiului lui Pascal (dacă rândul de sus îl numărăm drept rândul zero):

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

Acestui fenomen îi este dedicat însă un articol separat, despre binomul lui Newton.