Exprimarea unei variabile

Cum exprimăm o anumită variabilă dintr-o relație sau dintr-o fracție mai complicată. Această tehnică se folosește mai ales când lucrăm cu diverse formule în care apar mai multe variabile. Combinată cu alte formule, ne poate duce la rezultate spectaculoase, când deducem totul din nimic.

Expresii liniare simple

Să luăm această formulă: ax + b = c. Cum izolăm pe x din această formulă imaginară? Începem întotdeauna așa: toți termenii care conțin variabila pe care o izolăm îi punem în membrul stâng, iar restul în membrul drept. Teoretic nu contează în ce membru se află ce, dar obiceiul este ca necunoscuta pe care o exprimăm să fie în stânga. Așadar, mai întâi mutăm pe b în membrul drept, adică adunăm −b la ambii membri ai ecuației:

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

Termenii cu variabila sunt acum într-un singur membru, dar ne mai încurcă a. Cum scăpăm elegant de el? Ce trebuie să facem cu expresia ax ca să obținem doar x? Da, împărțim expresia – și, odată cu ea, întreaga ecuație – la a, adică o înmulțim cu $\frac{1}{a}$. Valoarea lui a trebuie să fie diferită de zero (nu putem împărți la zero). Dacă procedăm așa, obținem:

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

Gata. Alt exemplu:

$$2ax-3bx=10a$$

Din nou trebuie să izolăm pe x. Termenii cu necunoscuta sunt deja în membrul stâng, deci avem puțin de lucru în minus. Complicația este că avem doi termeni cu necunoscuta. Rezolvăm situația prin scoaterea factorului comun. Scoatem pe x factor comun din membrul stâng al ecuației și obținem:

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

În exemplul anterior aveam expresia ax și voiam să obținem doar x, așa că am înmulțit întreaga ecuație cu $\frac{1}{a}$. Acum avem în ecuație expresia x(2a − 3b) și din nou vrem să aflăm pe x. Facem același lucru: împărțim întreaga ecuație la expresia (2a − 3b). Nu te teme, ecuația chiar se poate împărți la o paranteză întreagă, trebuie doar să avem 2a − 3b ≠ 0.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Fracții

Dacă avem o expresie cu fracții, folosim aceleași transformări ale ecuațiilor, doar că trebuie să avem grijă să nu împărțim sau să nu înmulțim din greșeală cu zero. Exemplu:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

Vrem să-l izolăm pe x. Înmulțim întreaga ecuație cu x – trebuie doar să adăugăm condiția x ≠ 0. Ea oricum este îndeplinită, deoarece în ecuație apare fracția $\frac{a}{x}$, iar x se află la numitor – și nu putem împărți la zero. Obținem ecuația:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

Când izolezi necunoscuta, folosește pur și simplu transformările echivalente ale ecuațiilor.