Ce este o demonstrație

Demonstrațiile sunt pietrele de temelie ale întregii matematici: datorită lor poți construi dintr-o mână de pietricele o întreagă piramidă, și încă cu vârful în jos.

Rostul demonstrațiilor

Demonstrațiile au rost în matematică din mai multe motive. Motivul principal este că, fără ajutorul demonstrațiilor, nu putem confirma nicio idee sau ipoteză care ne trece prin minte. Am putea, de exemplu, să credem că numerele prime sunt în număr finit, dar dacă nu avem o demonstrație, aceasta rămâne doar o afirmație fără acoperire. Pe de altă parte, și afirmațiile nedemonstrate au sens în matematică (și în altă parte). Pur și simplu se spune că, dacă presupunem că există doar un număr finit de numere prime, atunci are loc… o altă teorie.

Apoi nu trebuie să ne mirăm dacă, peste un timp, cineva demonstrează că există o infinitate de numere prime, așa cum vom vedea mai departe, iar întreaga noastră teorie se prăbușește ca un castel de cărți. Datorită demonstrațiilor putem construi castele de cărți care nu se vor prăbuși niciodată.

Motivul pentru care demonstrațiile se învață în școli este că cine înțelege demonstrația înțelege și materia respectivă. De obicei e greu să înțelegi cu adevărat o materie fără să înțelegi demonstrațiile. Cuvântul „înțelegi” l-am evidențiat în mod deliberat: dacă înveți demonstrațiile pe de rost cu o zi înainte de examen și a doua zi doar le torni pe hârtie, asta nu înseamnă că ești mai aproape de înțelegerea problemei.

Demonstrațiile răspund, în învățarea unei materii, la întrebarea „de ce funcționează așa?” Dacă înțelegi de ce funcționează un lucru, îl vei ține minte mai ușor și, după un timp, vei înțelege materia mult mai bine decât cineva care a învățat în stilul „toceală – uitare”. Întrebarea este dacă acesta este scopul tău.

Ce este o demonstrație

Ce este o demonstrație se definește formal în logica matematică, de exemplu prin deducția sintactică, dar nouă ne ajunge o definiție mult mai simplă.

La începutul fiecărei demonstrații trebuie să avem o afirmație pe care vrem să o demonstrăm. Această afirmație o notăm cu simbolul magic ϕ. Este o literă grecească, care se citește „fi”. Mai avem nevoie de o mulțime de axiome și ipoteze, notată Ax, cu ajutorul căreia demonstrăm afirmația ϕ. Mulțimea axiomelor este ceea ce știm deja, ceea ce presupunem că este adevărat. Pot fi lucruri precum „orice număr par este divizibil cu doi”. Mai departe, această mulțime poate conține, de exemplu, formule pentru transformarea expresiilor, care au fost demonstrate în altă parte și pe care le considerăm deja adevărate, de pildă:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2;a,b\in \mathbb{R}$$

Acum vom transforma treptat afirmațiile din mulțimea Ax până obținem afirmația ϕ. Toate transformările trebuie să fie corecte din punct de vedere logic, trebuie să respecte logica propozițională de bază. De exemplu, dacă am vrea să demonstrăm formula de mai sus, am proceda astfel: expresia

$$(a+b{)}^2$$

o transformăm prin transformări echivalente până obținem expresia din membrul drept. Iată:

$$(a+b{)}^2=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=$$

$$=a\cdot a+2ab+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$$

În primul pas am scris puterea ca produs, în al doilea pas am desfăcut parantezele, în al treilea pas am adunat termenii asemenea, iar în ultimul pas am scris produsul ca putere. Fiecare pas a fost o transformare elementară pe care ne-o puteam permite, presupunând că fiecare dintre aceste transformări elementare se află în mulțimea Ax.

Important este că fiecare transformare trebuie să fie validă, trebuie să pornească de la ceva ce știm deja. O demonstrație matematică seamănă cu evoluția – prin mici transformări succesive obținem dintr-o expresie o altă expresie.

Demonstrații banale

Demonstrația banală (sau evidentă) este un terminus technicus pentru o demonstrație care nu încape pe tablă, așa că se sare peste ea, iar studentul o învață din suportul de curs ca temă pentru acasă. :-) Acum serios – demonstrațiile banale sunt demonstrații care decurg, de obicei, dintr-o definiție într-un singur pas banal.

Să încercăm cu un exemplu: fie mulțimea numerelor naturale nenule, adică mulțimea numerelor ℕ^∗ = {1, 2, 3, …}. Putem spune acum că orice fracție de forma:

$$\frac{q}{p};q,p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

este o fracție validă, adică nu găsim nicio pereche de numere q, p pentru care fracția dată să nu aibă sens. Cum am demonstra acest lucru? Mai întâi trebuie să ne dăm seama când o fracție nu are sens. O fracție nu are sens când la numitor este zero (nu putem împărți la zero). Trebuie deci să demonstrăm că p ≠ 0 pentru toate valorile posibile ale lui p. Noi însă știm că p este luat din numerele naturale nenule, pe care le-am definit ca ℕ^∗ = {1, 2, 3, …}. Mulțimea numerelor naturale nenule nu conține zero, deci numărul p va fi mereu diferit de zero.

$$\mathrm{\forall }p\in {\mathbb{N}}^{\ast }:p\ne 0$$

Și demonstrația s-a încheiat. Știm că, dacă și numărătorul, și numitorul fracției sunt numere naturale nenule, fracția este validă.

Demonstrațiile banale chiar sunt de obicei banale, dar numai dacă cunoști contextul. De exemplu, dacă nu înțelegi noțiunea de mulțime sau nu știi ce înseamnă că p este element al mulțimii ℕ^∗, atunci nici această demonstrație nu a fost banală pentru tine. Demonstrațiile banale se caracterizează deci nu atât prin faptul că sunt simple, cât prin faptul că sunt scurte și decurg ușor dintr-un context (oricât de greu).

Contraexemplul

Contraexemplul este probabil cea mai simplă formă de a demonstra că o afirmație dată nu este adevărată. Important este cuvântul „nu”. Un contraexemplu poate indica un caz în care afirmația dată nu are loc, dar, în general, oricât de multe exemple nu ajung atunci când avem de-a face cu o infinitate de elemente pe care le putem testa.

Exemplu: „orice număr natural este mai mare decât zece”. Cum demonstrăm că nu este adevărat? Un contraexemplu pentru afirmația noastră este numărul cinci, de pildă. Numărul cinci este număr natural și nu este mai mare decât zece. Afirmația nu o putem demonstra enumerând câteva numere naturale mai mari decât zece. Nu poți spune „numerele naturale 11, 12, 13, 123 și 5345 sunt mai mari decât 10, deci afirmația este adevărată”. Nu merge. Am ales doar câteva exemple pentru care afirmația noastră are loc, dar asta nu spune nimic despre celelalte numere, pe care nu le-am menționat deloc.

Al doilea exemplu: orice bărbat mai înalt de doi metri are ochii căprui sau albaștri. Presupun că puțini sunt în stare să găsească un contraexemplu. Ce ne spune asta despre afirmația dată? Ei bine, nimic. Dacă nu suntem în stare să găsim un contraexemplu, nu înseamnă neapărat că afirmația este adevărată. Un contraexemplu poate exista undeva, doar că nu reușim să îl găsim tocmai acum. Faptul că nu putem găsi un contraexemplu nu demonstrează că afirmația este adevărată.

Demonstrația directă

Tipul de bază de demonstrație este demonstrația directă. Procedăm sec, conform definiției, și transformăm afirmația inițială până obținem afirmația pe care vrem să o obținem. De obicei vrem să demonstrăm o afirmație care are forma unei implicații A ⇒ B, unde A este un punct de plecare, o ipoteză, iar B este afirmația pe care vrem să o deducem, să o demonstrăm. Dacă este adevărată afirmația A, atunci este adevărată și afirmația B. Deseori ni se dă doar afirmația B, adică ceea ce avem de demonstrat, iar afirmația A trebuie să o alegem noi înșine în mod potrivit.

Urmează un șir de pași în care, cu ajutorul implicațiilor, deducem alte afirmații, iar ultima afirmație este B. Schematic, s-ar putea scrie astfel:

$$A\Rightarrow A_1\Rightarrow A_2\Rightarrow A_3\Rightarrow \dots \Rightarrow A_n\Rightarrow B$$

Ca exemplu, vom demonstra că are loc afirmația

$$a>1\Rightarrow a^2>1$$

Acum pas cu pas:

1. Deoarece a>1, sigur are loc și a>0, precum și a ≠ 0 (practic doar slăbim condiția).
2. Deoarece a nu este egal cu zero și este pozitiv, putem înmulți fără grijă cu a întreaga inegalitate. Dacă a ar fi zero, inegalitatea strictă nu s-ar păstra (am obține 0>0), iar dacă ar fi negativ, ar trebui să schimbăm sensul inegalității. După înmulțirea cu a obținem expresia a²>a.
3. În acest moment știm că a>1 și, în același timp, că a²>a. Dacă punem cele două relații cap la cap, obținem: a²>a>1.
4. De aici eliminăm doar termenul din mijloc și avem a²>1. Ne-am putut permite acest lucru pentru că a este mai mare decât unu, iar a² este mai mare decât a. Dacă a² este mai mare decât a și a este totodată mai mare decât unu, atunci sigur a² este mai mare decât unu.

Simbolic, am putea scrie astfel:

$$a>1\Rightarrow a>0\Rightarrow a^2>a\Rightarrow a^2>a>1\Rightarrow a^2>1.$$

Demonstrația indirectă

Demonstrația indirectă folosește mai mult proprietățile implicației. Dacă trebuie să demonstrăm o afirmație de forma A ⇒ B, putem folosi implicația contrapozitivă și să demonstrăm

$$\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A.$$

Această metodă poate fi uneori mai avantajoasă decât, de exemplu, demonstrația directă. Un procedeu asemănător folosește metoda reducerii la absurd, la care se poate reduce orice demonstrație indirectă. Să încercăm să demonstrăm indirect afirmația

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Acum scriem contrapozitiva implicației:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\neg }(a=b)& \Rightarrow & \mathrm{\neg }(a-b=0)\\ a\ne b& \Rightarrow & a-b\ne 0\end{array}$$

Dacă a ≠ b, îl putem descompune pe b ca sumă b = a + x, unde x reprezintă distanța dintre numărul b și numărul a. Expresia se transformă astfel:

$$a\ne (a+x)\Rightarrow a-(a+x)\ne 0;x\ne 0$$

Reducem variabilele a care se pot reduce:

$$0\ne x\Rightarrow -x\ne 0;x\ne 0$$

Deoarece x ≠ 0, avem și −x ≠ 0, deci implicația este adevărată. Afirmația este demonstrată, prin urmare are loc și afirmația inițială

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Alte tehnici de demonstrare sunt, de exemplu, metoda reducerii la absurd, menționată deja, sau demonstrația prin inducție.

Alte surse

• Demonstrație matematică pe Wikipedia