Modulul unui număr

Modulul (valoarea absolută) unui număr este întotdeauna un număr nenegativ, adică mai mare sau egal cu zero. Dacă trebuie să calculăm modulul unui număr pozitiv, obținem chiar acel număr. Dacă însă vrem să aflăm modulul unui număr negativ, obținem opusul lui (adică pentru x, unde x < 0, modulul este −x). Modulul se notează cu două bare verticale: |x|.

Proprietăți de bază

Deși pare că a calcula cu module e floare la ureche, de cele mai multe ori e tocmai invers: modulul reușește să complice o funcție altfel simplă. Vezi, de exemplu, ecuațiile de gradul întâi cu modul. Iată câteva exemple:

$$\begin{array}{rcl}|5|& =& 5\\ |0|& =& 0\\ |-12|& =& 12\\ |3,14|& =& 3,14\\ |-2,71|& =& 2,71\end{array}$$

Modulul are următoarele proprietăți, pentru x, a, b din mulțimea numerelor reale:

1. |x| ≥ 0
2. |a · b| = |a| · |b|
3. |a + b| ≤ |a| + |b|
4. |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b

Modulul se calculează separat pentru numerele complexe.

Grafice

Graficele funcțiilor cu modul se recunosc după faptul că formează „vârfuri”. În punctul respectiv funcția nu este derivabilă.