Vad är ett bevis

Bevis är hela matematikens grundstenar. Med hjälp av bevis kan du bygga en hel pyramid av några få småstenar, och till och med upp och ner.

Meningen med bevis

Bevis är meningsfulla i matematiken av flera skäl. Det viktigaste skälet är att vi utan bevis inte kan bekräfta någon idé eller hypotes som dyker upp i huvudet. Vi skulle till exempel kunna tro att det finns ändligt många primtal, men utan bevis blir det bara ett tomt påstående. Å andra sidan är också obevisade påståenden meningsfulla i matematiken (och på andra håll). Man säger helt enkelt att om antagandet att det finns ändligt många primtal gäller, så gäller … någon annan teori.

Då ska vi inte bli förvånade om någon efter en tid bevisar att det finns oändligt många primtal, som vi visar längre fram, och hela vår teori rasar som ett korthus. Tack vare bevis kan vi alltså bygga korthus som aldrig rasar.

Skälet till att man lär sig bevis i skolan är att den som förstår beviset också förstår själva stoffet. Man kan sällan förstå ett stoff ordentligt utan att förstå bevisen. Ordet ”förstå” har jag markerat helt medvetet, för om du lär dig bevisen utantill dagen före provet och dagen därpå bara spyr ut dem på ett papper, betyder det inte att du är närmare att förstå ämnet.

När du lär dig ett stoff svarar bevisen alltså på frågan ”varför fungerar det så här?” Om du förstår varför något fungerar är det lättare att komma ihåg det, och efter en tid kommer du definitivt att förstå stoffet bättre än den som har lärt sig det genom ”korvstoppning”. Frågan är om det är ditt mål.

Vad är ett bevis

Vad ett bevis är definieras formellt i matematisk logik, till exempel med hjälp av syntaktisk konsekvens, men vi nöjer oss med en betydligt enklare definition.

I början av varje bevis måste vi ha ett påstående som vi vill bevisa. Det påståendet betecknar vi med den magiska symbolen ϕ. Det är en grekisk bokstav som vi läser ”fi”. Vidare behöver vi en mängd axiom och antaganden, som vi betecknar Ax, med hjälp av vilka vi bevisar påståendet ϕ. Mängden av axiom är sådant som vi redan vet, sådant som vi antar gäller. Det kan vara till exempel ”varje jämnt tal är delbart med två”. Mängden kan också innehålla till exempel formler för omskrivning av uttryck som är bevisade någon annanstans och som vi redan antar gäller, till exempel:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2;a,b\in \mathbb{R}$$

Nu skriver vi steg för steg om påståendena i mängden Ax tills vi får påståendet ϕ. Alla omskrivningar måste vara logiskt riktiga, de måste motsvara grundläggande satslogik. Om vi till exempel ville bevisa formeln ovan skulle vi gå tillväga så att vi skriver om uttrycket

$$(a+b{)}^2$$

med ekvivalenta omskrivningar tills vi får uttrycket på högra sidan. Jag visar:

$$(a+b{)}^2=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=$$

$$=a\cdot a+2ab+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$$

I första steget skrev vi om potensen som en produkt, i andra steget multiplicerade vi ihop parenteserna, i tredje steget adderade vi lika termer och i sista steget skrev vi produkten som en potens. Varje steg var någon elementär omskrivning som vi fick tillåta oss, och vi antar att var och en av dessa elementära omskrivningar ingår i mängden Ax.

Det viktiga är att varje omskrivning måste vara giltig, den måste utgå från något som vi redan känner till. Ett matematiskt bevis är ungefär som evolution — genom små stegvisa förändringar får vi från ett uttryck ett annat uttryck.

Triviala bevis

Ett trivialt bevis (eller självklart bevis) är ett fackuttryck för ett bevis som inte ryms på tavlan, så det hoppas över och eleven får lära sig det ur kompendiet som hemuppgift. :-) Allvarligt talat — triviala bevis är bevis som typiskt följer av någon definition i ett enda trivialt steg.

Vi prövar det på ett exempel: vi tar mängden av positiva heltal, alltså mängden av talen ℤ⁺ = {1, 2, 3, …}. Nu kan vi säga att varje bråk på formen:

$$\frac{q}{p};q,p\in {\mathbb{Z}}^{+}$$

är ett giltigt bråk, alltså att vi inte hittar något talpar q, p för vilket det givna bråket saknar mening. Hur skulle vi bevisa det? Först måste vi komma på när ett bråk saknar mening. Ett bråk saknar mening när det står noll i nämnaren (vi kan inte dividera med noll). Vi måste alltså bevisa att p ≠ 0 för alla möjliga p. Men vi vet att p tas från de positiva heltalen, som vi har definierat som ℤ⁺ = {1, 2, 3, …}. Mängden av positiva heltal innehåller inte noll, så talet p kommer alltid att vara skilt från noll.

$$\mathrm{\forall }p\in {\mathbb{Z}}^{+}:p\ne 0$$

Och beviset är klart. Vi vet att om både täljaren och nämnaren i ett bråk är positiva heltal, så är bråket giltigt.

Triviala bevis brukar verkligen vara triviala, men bara om du känner till sammanhanget. Om du till exempel inte förstår begreppet mängd eller inte vet vad det betyder att p är ett element i mängden ℤ⁺, då var inte heller det här beviset trivialt för dig. Triviala bevis känns alltså inte igen på att de är enkla, utan snarare på att de är korta och följer enkelt av något (hur svårt som helst) sammanhang.

Motexempel

Motexempel är nog den enklaste formen av bevis för att ett givet uttryck inte är sant. Det viktiga är ordet inte. Ett motexempel kan nämligen visa på ett fall där det givna påståendet inte gäller, men i allmänhet räcker inte ens hur många exempel som helst när det finns oändligt många element att testa.

Exempel: ”varje positivt heltal är större än tio”. Hur bevisar vi att det inte är sant? Ett motexempel till vårt påstående är till exempel talet fem. Talet fem är ett positivt heltal och är inte större än tio. Vi kan inte bevisa påståendet genom att räkna upp några positiva heltal som är större än tio. Du kan inte säga ”de positiva heltalen 11, 12, 13, 123 och 5345 är större än 10, så påståendet är sant”. Det går inte. Då har vi bara valt ut några få exempel för vilka vårt påstående gäller, men det säger ingenting om de andra talen som vi inte alls nämnde.

Ett andra exempel: varje man som är längre än två meter har bruna eller blå ögon. Jag antar att det knappast är någon som kan hitta ett motexempel. Vad säger det oss om påståendet? Ja, ingenting alls. Om vi inte kan hitta något motexempel betyder det inte nödvändigtvis att påståendet är sant. Ett motexempel kan finnas någonstans, vi kan bara inte hitta det just nu. Oförmågan att hitta ett motexempel bevisar inte att påståendet är sant.

Direkt bevis

Den grundläggande typen av bevis är det direkta beviset. Vi följer torrt definitionen och skriver om det ursprungliga påståendet tills vi får det påstående som vi vill komma fram till. Typiskt vill vi bevisa ett påstående i form av en implikation A ⇒ B, där A är någon utgångspunkt, ett antagande, och B är det påstående som vi vill härleda, bevisa. Om påståendet A gäller, så gäller påståendet B. Ofta har vi bara fått påståendet B, alltså det vi vill bevisa, och påståendet A måste vi själva välja på lämpligt sätt.

Därefter följer ett resonemang där vi med hjälp av implikationer härleder nya påståenden, och som sista påstående står påståendet B. Schematiskt kan det skrivas så här:

$$A\Rightarrow A_1\Rightarrow A_2\Rightarrow A_3\Rightarrow \dots \Rightarrow A_n\Rightarrow B$$

Som exempel bevisar vi att följande påstående gäller

$$a>1\Rightarrow a^2>1$$

Nu steg för steg:

1. Eftersom a>1 gäller säkert också a>0 och även a ≠ 0 (vi försvagar egentligen bara villkoret).
2. Eftersom a inte är lika med noll och är positivt kan vi utan risk multiplicera hela olikheten med variabeln a. Om a vore noll skulle den strikta olikheten inte bevaras (vi skulle få 0>0), och om det vore negativt skulle vi behöva vända olikhetstecknet. Efter multiplikation med a får vi uttrycket a²>a.
3. Nu vet vi att a>1 och samtidigt att a²>a. Om vi sätter ihop de två uttrycken får vi: a²>a>1.
4. Härifrån tar vi bara bort det mittersta uttrycket och har uttrycket a²>1. Det fick vi göra eftersom a är större än ett och a² är större än a. Om a² är större än a och a samtidigt är större än ett, så är a² säkert större än ett.

Symboliskt skulle vi kunna skriva det så här:

$$a>1\Rightarrow a>0\Rightarrow a^2>a\Rightarrow a^2>a>1\Rightarrow a^2>1.$$

Indirekt bevis

Det indirekta beviset utnyttjar i högre grad egenskaperna hos implikationen. Om vi ska bevisa ett påstående på formen A ⇒ B, kan vi använda kontraposition och bevisa

$$\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A.$$

Det här sättet kan ibland vara bättre än till exempel ett direkt bevis. Ett liknande tillvägagångssätt används i motsägelsebevis, som varje indirekt bevis kan omvandlas till. Vi försöker bevisa följande påstående indirekt

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Nu tar vi kontrapositionen av implikationen:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\neg }(a=b)& \Rightarrow & \mathrm{\neg }(a-b=0)\\ a\ne b& \Rightarrow & a-b\ne 0\end{array}$$

Om a ≠ b kan vi dela upp b som summan b = a + x, där x är avståndet mellan talet b och talet a. Uttrycket ändras så här:

$$a\ne (a+x)\Rightarrow a-(a+x)\ne 0;x\ne 0$$

Vi tar bort de a som vi kan:

$$0\ne x\Rightarrow -x\ne 0;x\ne 0$$

Eftersom x ≠ 0 är också −x ≠ 0, så implikationen gäller. Påståendet är bevisat, och därmed gäller också det ursprungliga påståendet

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Andra bevistekniker är till exempel det redan nämnda motsägelsebeviset eller induktionsbevis.

Fler källor

• Matematiskt bevis på Wikipedia