Pascals triangel

Pascals triangel består av tal, och ett tal som står under två andra tal är lika med deras summa. Vi konstruerar en sådan triangel och visar sedan vad den kan vara bra för.

Så konstruerar du Pascals triangel

Längs sidorna av vår triangel skriver vi bara ettor, och insidan fyller vi tills vidare med frågetecken:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Nu räknar vi ut det första frågetecknet — vi adderar de två talen ovanför det och får 1 + 1 = 2:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

På samma sätt räknar vi ut frågetecknen i nästa rad. Först får vi 1 + 2 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Och sedan får vi 2 + 1 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Så fortsätter vi, och med varje ny rad får vi en ny del av Pascals triangel:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Pascals triangel är förstås oändlig, vi kan hela tiden skapa fler och fler rader. Men det gäller alltid att vi har ettor i kanterna och att varje tal inuti triangeln är summan av de två talen ovanför det. Talet 15 i den sista raden är till exempel summan av talen 5 och 10 ovanför.

Grundläggande egenskaper hos Pascals triangel

Den första grundläggande egenskapen har vi redan nämnt: längs triangelns sidor står alltid ettor:

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

I den andra diagonalen finns alltid alla positiva heltal:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Har du förresten märkt att Pascals triangel är symmetrisk? Varje rad är likadan, vare sig du läser den från vänster till höger eller från höger till vänster.

Triangeltal

I den tredje diagonalen har vi sedan talen 1, 3, 6, 10, 15…

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Vad är det som är intressant med dem? De här talen kallas triangeltal. Tänk dig att du har ett antal cirklar och vill lägga dem så att de bildar en triangel. Hur många cirklar behöver du? Titta på följande figur:

Vi ser att för en triangel med sidan 1 behöver vi precis en cirkel. För sidan 2 behöver vi tre cirklar, för sidan 3 behöver vi sex cirklar och för sidan 4 behöver vi tio cirklar. Antalet cirklar vi behöver är alltid något triangeltal, som vi hittar i Pascals triangel.

Radsummor

Tänk om vi skulle försöka addera varje rad i Pascals triangel?

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

Vi ser att summan av varje rad är dubbelt så stor som summan av raden innan. Alla summor är alltså lika med någon potens av talet två. Om vi kallar den översta raden rad noll kan vi skriva att summan av rad n i Pascals triangel är lika med 2ⁿ.

Primtal

Vi kallar triangelns översta rad rad noll. Då gäller att om vi väljer någon rad n, där n är ett primtal, så är alla tal i den raden delbara med n (förutom ettorna i kanten).

Ta till exempel n = 5. Talet fem är ett primtal. Rad fem ser ut så här:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Vart och ett av de markerade talen är delbart med fem.

Binomialsatsen

Du känner säkert till formlerna för att beräkna (a + b)² och (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Vi kan notera att koefficienterna framför de olika termerna motsvarar talen i Pascals triangel. Ta till exempel uttrycket

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Först skriver vi ut multiplikationen med ett framför termerna a³ och b³, så att det blir tydligare:

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

Nu ser vi att koefficienterna som multiplicerar termerna är desamma som i den tredje raden i Pascals triangel (om vi räknar den översta raden som rad noll):

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

Det här fenomenet behandlas dock i en egen artikel om binomialsatsen.