Lösa ut en variabel

Hur löser vi ut en enskild variabel ur ett mer komplicerat samband eller ett bråk? Den här tekniken används särskilt när vi arbetar med olika formler där flera variabler förekommer. Tillsammans med andra formler kan vi åstadkomma otroliga saker och härleda allt från ingenting.

Enkla linjära uttryck

Vi tar den här formeln: ax + b = c. Hur löser vi ut x ur den här påhittade formeln? Vi börjar alltid med att flytta alla termer med den variabel vi löser ut till vänster led och resten till höger led. I teorin spelar det ingen roll vad som står i vilket led, men det är brukligt att ha den obekanta vi löser ut till vänster. Först flyttar vi alltså över b till höger led, det vill säga vi adderar −b till ekvationen:

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

Termerna med variabeln har vi nu i ett led, men a är fortfarande i vägen. Hur blir vi av med det på ett snyggt sätt? Vad måste vi göra med uttrycket ax för att få bara x? Jo, vi dividerar uttrycket – och därmed hela ekvationen – med a, eller med andra ord multiplicerar med $\frac{1}{a}$. Värdet på a måste då vara skilt från noll (vi kan inte dividera med noll). Om vi gör det får vi:

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

Klart. Ett exempel till:

$$2ax-3bx=10a$$

Även nu ska vi lösa ut x. Termerna med den obekanta står redan i vänster led, så vi har lite mindre arbete. Komplikationen är att det finns två termer med den obekanta. Det löser vi genom att bryta ut en gemensam faktor. Ur vänster led bryter vi ut x och får:

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

I förra exemplet hade vi uttrycket ax och ville få bara x, så vi multiplicerade hela ekvationen med $\frac{1}{a}$. Nu har vi uttrycket x(2a − 3b) i ekvationen och vill återigen veta x. Vi gör samma sak och dividerar hela ekvationen med uttrycket (2a − 3b). Var inte rädd, vi kan faktiskt dividera ekvationen med en hel parentes, bara det gäller att 2a − 3b ≠ 0.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Bråk

Om vi har ett uttryck med bråk använder vi samma omformningar av ekvationer, men vi måste vara noga med att inte råka dividera eller multiplicera med noll. Ett exempel:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

Vi vill lösa ut x. Hela ekvationen multiplicerar vi med x – vi måste bara tillägga förutsättningen att x ≠ 0. Den gäller ändå, eftersom ekvationen innehåller bråket $\frac{a}{x}$ där x står i nämnaren – och vi kan inte dividera med noll. Då får vi ekvationen:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

När du löser ut en obekant ska du helt enkelt använda de vanliga ekvivalenta omformningarna av ekvationer.