Hva er et bevis

Bevis er grunnsteinene i hele matematikken. Takket være bevis kan du bygge en hel pyramide av noen få småsteiner, og til og med med spissen ned.

Hva bevis er til for

Bevis har mening i matematikken av flere grunner. Hovedgrunnen er at vi uten hjelp av bevis ikke kan bekrefte noen idé eller hypotese som faller oss inn. Vi kunne for eksempel tro at det finnes bare et endelig antall primtall, men hvis vi ikke har noe bevis, blir det bare et tomt utsagn. På den annen side har også ubeviste utsagn mening i matematikk (og andre steder). Vi sier rett og slett at hvis forutsetningen om at det finnes bare endelig mange primtall, gjelder, så gjelder … en annen teori.

Da må vi ikke bli overrasket over at noen etter en tid beviser at det finnes uendelig mange primtall, som vi skal se nedenfor, og hele teorien vår faller sammen som et korthus. Takket være bevis kan vi altså bygge hus av kort som aldri faller sammen.

Grunnen til at bevis læres på skolen, er at den som forstår et bevis, også forstår stoffet. Som regel kan du vanskelig forstå stoffet grundig uten å forstå bevisene. Ordet «forstå» har jeg fremhevet helt bevisst, for hvis du pugger bevisene dagen før prøven og så bare spyr dem ut på papiret neste dag, betyr ikke det at du er nærmere å forstå emnet.

Bevis svarer altså, når vi lærer et stoff, på spørsmålet «hvorfor fungerer det slik?» Hvis du forstår hvorfor noe fungerer, husker du det lettere, og etter en tid vil du definitivt forstå stoffet bedre enn en som har lært det etter metoden «pugge og glemme». Spørsmålet er om det er målet ditt.

Hva er et bevis

Hva et bevis er, defineres formelt i matematisk logikk for eksempel ved hjelp av syntaktisk følge, men vi klarer oss med en langt enklere definisjon.

I begynnelsen av hvert bevis må vi ha en påstand som vi vil bevise. Denne påstanden betegner vi med det magiske symbolet ϕ. Det er en gresk bokstav, som vi leser «fi». Videre trenger vi en mengde aksiomer og forutsetninger, som vi betegner med Ax, og som vi kan bruke til å bevise påstanden ϕ. Mengden av aksiomer er noe vi allerede vet, noe vi antar at gjelder. Det kan være ting som «hvert partall er delelig med to». Mengden kan også inneholde for eksempel formler for omforming av uttrykk som er bevist et annet sted, og som vi allerede antar at gjelder, for eksempel:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2;a,b\in \mathbb{R}$$

Nå omformer vi etter tur påstandene i mengden Ax helt til vi får påstanden ϕ. Alle omformingene må være logisk riktige, de må svare til grunnleggende utsagnslogikk. Hvis vi for eksempel ville bevise formelen ovenfor, ville vi gå frem slik at uttrykket

$$(a+b{)}^2$$

omformes med ekvivalente omforminger helt til vi får uttrykket på høyre side. Jeg viser:

$$(a+b{)}^2=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=$$

$$=a\cdot a+2ab+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$$

I det første steget skrev vi potensen ut som et produkt, i det andre steget multipliserte vi ut parentesene, i det tredje steget la vi sammen like uttrykk, og i det siste steget skrev vi produktet som en potens. Hvert steg var en elementær omforming som vi kunne tillate oss, og vi antar at hver av disse elementære omformingene er med i mengden Ax.

Det viktige er at hver omforming må være gyldig, den må gå ut fra noe vi allerede kjenner. Et matematisk bevis er litt som evolusjon: med gradvise små endringer får vi fra ett uttrykk et annet.

Trivielle bevis

Et trivielt bevis (eller selvsagt bevis) er et faguttrykk for et bevis som ikke får plass på tavla, så det hoppes over, og studenten lærer det fra læreboka som lekse. :-) Men seriøst, trivielle bevis er bevis som typisk følger av en definisjon i ett enkelt steg.

La oss vise det med et eksempel: Vi har mengden av naturlige tall, altså mengden av tall ℕ = {1, 2, 3, …}. Nå kan vi si at hver brøk på formen

$$\frac{q}{p};q,p\in \mathbb{N}$$

er en gyldig brøk, altså at vi ikke finner noe par av tall q, p der den oppgitte brøken ikke ville gi mening. Hvordan kan vi bevise det? Først må vi finne ut når en brøk ikke gir mening. En brøk gir ikke mening når det står null i nevneren (vi kan ikke dele på null). Vi må altså bevise at p ≠ 0 for alle mulige p. Men vi vet at vi tar p fra de naturlige tallene, som vi har definert som ℕ = {1, 2, 3, …}. Mengden av naturlige tall inneholder ikke null, så tallet p er alltid forskjellig fra null.

$$\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}:p\ne 0$$

Og så er beviset ferdig. Vi vet at hvis både telleren og nevneren i en brøk er naturlige tall, er brøken gyldig.

Trivielle bevis er som regel virkelig trivielle, men bare hvis du kjenner sammenhengen rundt. Hvis du for eksempel ikke forstår begrepet mengde eller ikke vet hva det betyr at p er et element i mengden ℕ, var heller ikke dette beviset trivielt for deg. Trivielle bevis kjennetegnes derfor ikke så mye av at de er enkle, men snarere av at de er korte og følger enkelt av en (vilkårlig vanskelig) sammenheng.

Moteksempel

Moteksempel er trolig den enkleste formen for å bevise at et gitt uttrykk ikke er sant. Det viktige er ordet ikke. Et moteksempel kan nemlig peke på et tilfelle der det oppgitte utsagnet ikke gjelder, men generelt er ikke engang aldri så mange eksempler nok når det er uendelig mange elementer vi kan teste.

Eksempel: «hvert naturlig tall er større enn ti». Hvordan beviser vi at dette ikke er sant? Et moteksempel til påstanden vår er for eksempel tallet fem. Tallet fem er et naturlig tall, og det er ikke større enn ti. Vi kan ikke bevise påstanden ved å nevne noen naturlige tall som er større enn ti. Du kan ikke si «de naturlige tallene 11, 12, 13, 123 og 5345 er større enn 10, så utsagnet er sant». Det går ikke. Da har vi bare valgt noen få eksempler der påstanden vår gjelder, men det sier ingenting om de andre tallene, som vi ikke har nevnt i det hele tatt.

Et annet eksempel: Hver mann som er høyere enn to meter, har brune eller blå øyne. Jeg antar at det er få som klarer å finne et moteksempel. Hva sier det oss om utsagnet? Vel, ingenting. Hvis vi ikke klarer å finne et moteksempel, betyr ikke det nødvendigvis at utsagnet er sant. Et moteksempel kan finnes et sted, vi klarer bare ikke å finne det akkurat nå. At vi ikke klarer å finne et moteksempel, beviser ikke at påstanden er sann.

Direkte bevis

Den grunnleggende typen bevis er det direkte beviset. Vi følger tørt definisjonen og omformer det opprinnelige utsagnet helt til vi får utsagnet vi vil ha. Typisk vil vi bevise et utsagn som har formen av en implikasjon A ⇒ B, der A er et utgangspunkt, en forutsetning, og B er utsagnet vi vil utlede, bevise. Hvis utsagnet A gjelder, så gjelder utsagnet B. Ofte har vi bare oppgitt utsagnet B, altså det vi vil bevise, og utsagnet A må vi velge passende selv.

Så følger en fremgangsmåte der vi ved hjelp av implikasjoner utleder nye utsagn, og det siste utsagnet er utsagnet B. Skjematisk kan det skrives slik:

$$A\Rightarrow A_1\Rightarrow A_2\Rightarrow A_3\Rightarrow \dots \Rightarrow A_n\Rightarrow B$$

Som eksempel skal vi bevise at utsagnet

$$a>1\Rightarrow a^2>1$$

gjelder. Nå steg for steg:

1. Siden a>1, gjelder helt sikkert også a>0 og a ≠ 0 (vi svekker egentlig bare vilkåret).
2. Siden a ikke er lik null og er positiv, kan vi uten bekymring multiplisere hele ulikheten med variabelen a. Hvis a var null, ville den strenge ulikheten ikke bevares (vi ville fått 0>0), og hvis den var negativ, måtte vi snu ulikheten. Etter multiplikasjon med variabelen a får vi uttrykket a²>a.
3. Nå vet vi at a>1, og samtidig vet vi at a²>a. Hvis vi setter disse to uttrykkene sammen, får vi: a²>a>1.
4. Herfra fjerner vi bare det midterste uttrykket og har uttrykket a²>1. Det kunne vi tillate oss fordi a er større enn én og a² er større enn a. Hvis a² er større enn a og a samtidig er større enn én, er helt sikkert a² større enn én.

Symbolsk kunne vi skrive det slik:

$$a>1\Rightarrow a>0\Rightarrow a^2>a\Rightarrow a^2>a>1\Rightarrow a^2>1.$$

Indirekte bevis

Det indirekte beviset bruker mer av egenskapene til implikasjon. Hvis vi skal bevise en påstand på formen A ⇒ B, kan vi bruke den kontraponerte implikasjonen og bevise

$$\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A.$$

Denne fremgangsmåten kan noen ganger være bedre enn for eksempel et direkte bevis. En lignende fremgangsmåte brukes i motsigelsesbevis, som alle indirekte bevis kan omformes til. La oss prøve å bevise påstanden

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

indirekte. Nå tar vi kontraposisjonen:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\neg }(a=b)& \Rightarrow & \mathrm{\neg }(a-b=0)\\ a\ne b& \Rightarrow & a-b\ne 0\end{array}$$

Hvis a ≠ b, kan vi dele b opp i en sum b = a + x, der x er avstanden fra tallet b til tallet a. Uttrykket endres slik:

$$a\ne (a+x)\Rightarrow a-(a+x)\ne 0;x\ne 0$$

Vi trekker fra de variablene a vi kan:

$$0\ne x\Rightarrow -x\ne 0;x\ne 0$$

Siden x ≠ 0, er også −x ≠ 0, så implikasjonen gjelder. Påstanden er bevist, og dermed gjelder også det opprinnelige utsagnet

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Andre bevisteknikker er for eksempel det allerede nevnte motsigelsesbeviset eller bevis ved induksjon.

Flere kilder

• Bevis (matematikk) på Wikipedia