Che cos’è una dimostrazione

Le dimostrazioni sono i mattoni fondamentali di tutta la matematica: grazie alle dimostrazioni, con pochi sassolini puoi costruire un’intera piramide, e per giunta capovolta.

Il senso delle dimostrazioni

Le dimostrazioni hanno senso in matematica per diversi motivi. Il motivo principale è che senza dimostrazioni non siamo in grado di confermare nessuna idea o ipotesi che ci venga in mente. Potremmo per esempio credere che i numeri primi siano in quantità finita, ma se non abbiamo una dimostrazione, questa resta soltanto un’affermazione senza fondamento. D’altra parte, anche le affermazioni non dimostrate hanno senso in matematica (e altrove). Si dice semplicemente che, se vale l’ipotesi che i numeri primi siano finiti, allora vale… un’altra teoria.

Poi però non dobbiamo stupirci se qualcuno dopo un po’ dimostra che i numeri primi sono infiniti, come vedremo più avanti, e tutta la nostra teoria crolla come un castello di carte. Grazie alle dimostrazioni possiamo quindi costruire castelli di carte che non crolleranno mai.

Il motivo per cui le dimostrazioni si studiano a scuola è che chi capisce una dimostrazione capisce anche l’argomento. Di solito è difficile comprendere a fondo un argomento senza capire le dimostrazioni. Ho evidenziato la parola «capire» del tutto di proposito: se infatti impari le dimostrazioni a memoria il giorno prima dell’interrogazione e il giorno dopo le rovesci sul foglio, questo non significa che tu sia più vicino a comprendere la materia.

Quando si studia un argomento, le dimostrazioni rispondono quindi alla domanda «perché funziona così?». Se capisci perché una cosa funziona, la ricordi più facilmente e con il tempo comprenderai l’argomento molto meglio di chi lo ha studiato a pappagallo. La questione è se questo sia il tuo obiettivo.

Che cos’è una dimostrazione

Il concetto di dimostrazione si definisce formalmente nella logica matematica, per esempio tramite la conseguenza sintattica, ma a noi basta una definizione molto più semplice.

All’inizio di ogni dimostrazione dobbiamo avere l’affermazione che vogliamo dimostrare. Indichiamo questa affermazione con il simbolo magico ϕ. È una lettera greca che si legge «fi». Ci servirà poi un insieme di assiomi e di ipotesi, che indichiamo con Ax, a partire dal quale dimostriamo l’affermazione ϕ. L’insieme degli assiomi è ciò che già sappiamo e che assumiamo come valido. Possono essere cose come «ogni numero pari è divisibile per due». Questo insieme può contenere anche formule per trasformare le espressioni, dimostrate altrove e che ormai assumiamo valide, per esempio:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2;a,b\in \mathbb{R}$$

Ora trasformiamo a poco a poco le affermazioni dell’insieme Ax fino a ottenere l’affermazione ϕ. Tutte le trasformazioni devono essere logicamente corrette, cioè conformi alla logica proposizionale di base. Per esempio, se volessimo dimostrare la formula precedente, procederemmo così: l’espressione

$$(a+b{)}^2$$

la trasformeremo con passaggi equivalenti fino a ottenere l’espressione al secondo membro. Te lo mostro:

$$(a+b{)}^2=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=$$

$$=a\cdot a+2ab+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$$

Nel primo passaggio abbiamo scritto la potenza come prodotto, nel secondo abbiamo eliminato le parentesi, nel terzo abbiamo sommato i termini uguali e nell’ultimo abbiamo riscritto il prodotto come potenza. Ogni passaggio era una trasformazione elementare che potevamo permetterci, e assumiamo che ciascuna di queste trasformazioni elementari sia contenuta nell’insieme Ax.

L’importante è che ogni trasformazione sia valida, cioè parta da qualcosa che già conosciamo. Una dimostrazione matematica è un po’ come l’evoluzione: con piccole modifiche successive da un’espressione se ne ottiene un’altra.

Dimostrazioni banali

Una dimostrazione banale (o anche ovvia) è il termine tecnico per una dimostrazione che non ci sta sulla lavagna, quindi viene saltata e lo studente la impara dalle dispense come compito a casa. :-) Ora seriamente: le dimostrazioni banali sono dimostrazioni che di solito discendono da una definizione in un unico passaggio banale.

Proviamo a vederlo con un esempio: consideriamo l’insieme dei numeri naturali diversi da zero, cioè l’insieme di numeri ℕ^* = {1, 2, 3, …}. Possiamo ora dire che ogni frazione della forma:

$$\frac{q}{p};q,p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

è una frazione valida, cioè non troveremo nessuna coppia di numeri q, p per cui la frazione data non abbia senso. Come lo dimostreremmo? Prima dobbiamo capire quando una frazione non ha senso. Una frazione non ha senso quando al denominatore c’è lo zero (non possiamo dividere per zero). Dobbiamo quindi dimostrare che p ≠ 0 per tutti i p possibili. Ma sappiamo che p lo prendiamo dai numeri naturali diversi da zero, che abbiamo definito come ℕ^* = {1, 2, 3, …}. Questo insieme non contiene lo zero, quindi il numero p sarà sempre diverso da zero.

$$\mathrm{\forall }p\in {\mathbb{N}}^{\ast }:p\ne 0$$

E la dimostrazione è conclusa. Sappiamo che, se sia il numeratore sia il denominatore della frazione sono numeri naturali diversi da zero, la frazione sarà valida.

Le dimostrazioni banali di solito sono davvero banali, ma solo se conosci il contesto. Per esempio, se non capisci il concetto di insieme o non sai che cosa significa che p è un elemento dell’insieme ℕ^*, allora nemmeno questa dimostrazione era banale per te. Le dimostrazioni banali non si distinguono quindi tanto per l’essere semplici, quanto per l’essere brevi e per discendere facilmente da un contesto (di difficoltà qualsiasi).

Controesempio

Il controesempio è forse la forma più semplice per dimostrare che un’affermazione non è vera. È importante la parola non. Un controesempio può infatti indicare un caso in cui l’affermazione data non vale, ma in generale nemmeno moltissimi esempi bastano quando in gioco ci sono infiniti elementi da mettere alla prova.

Esempio: «ogni numero naturale è maggiore di dieci». Come dimostriamo che non è vero? Un controesempio alla nostra affermazione è il numero cinque, per esempio. Il numero cinque è un numero naturale e non è maggiore di dieci. L’affermazione non possiamo dimostrarla elencando alcuni numeri naturali maggiori di dieci. Non puoi dire «i numeri naturali 11, 12, 13, 123 e 5345 sono maggiori di 10, quindi l’affermazione è vera». Non si può. Abbiamo solo scelto pochi esempi per cui la nostra affermazione vale, ma questo non dice nulla sugli altri numeri, di cui non abbiamo parlato affatto.

Secondo esempio: ogni uomo più alto di due metri ha gli occhi castani o azzurri. Suppongo che pochi siano in grado di trovare un controesempio. Che cosa ci dice questo sull’affermazione? Be’, assolutamente niente. Se non siamo in grado di trovare un controesempio, non significa necessariamente che l’affermazione sia vera. Un controesempio da qualche parte può esistere, solo che al momento non riusciamo a trovarlo. Non riuscire a trovare un controesempio non dimostra che l’affermazione sia vera.

Dimostrazione diretta

Il tipo fondamentale di dimostrazione è la dimostrazione diretta. Procediamo semplicemente secondo la definizione e trasformiamo la proposizione iniziale fino a ottenere quella che vogliamo ottenere. Tipicamente vogliamo dimostrare una proposizione della forma di un’implicazione A ⇒ B, dove A è un punto di partenza, un’ipotesi, e B è la proposizione che vogliamo ricavare, dimostrare. Se vale la proposizione A, allora vale la proposizione B. Spesso ci viene data solo la proposizione B, cioè ciò che vogliamo dimostrare, e la proposizione A dobbiamo scegliercela noi in modo opportuno.

Segue un procedimento in cui con delle implicazioni ricaviamo altre affermazioni, e come ultima affermazione troviamo B. Schematicamente si potrebbe scrivere così:

$$A\Rightarrow A_1\Rightarrow A_2\Rightarrow A_3\Rightarrow \dots \Rightarrow A_n\Rightarrow B$$

Come esempio dimostriamo che vale l’affermazione

$$a>1\Rightarrow a^2>1$$

Ora passo per passo:

1. Poiché a>1, vale sicuramente anche a>0 e anche a ≠ 0 (in pratica indeboliamo soltanto la condizione).
2. Poiché a non è uguale a zero ed è positivo, possiamo senza timori moltiplicare per a entrambi i membri della disuguaglianza. Se a fosse nullo, la disuguaglianza stretta non si conserverebbe (otterremmo 0>0), se fosse negativo, dovremmo invertire il verso della disuguaglianza. Dopo la moltiplicazione per la variabile a otteniamo l’espressione a²>a.
3. A questo punto sappiamo che a>1 e allo stesso tempo che a²>a. Se mettiamo insieme queste due espressioni, otteniamo: a²>a>1.
4. Da qui eliminiamo semplicemente l’espressione di mezzo e abbiamo a²>1. Questo ce lo potevamo permettere perché a è maggiore di uno e a² è maggiore di a. Se a² è maggiore di a e a è allo stesso tempo maggiore di uno, allora a² è sicuramente maggiore di uno.

Simbolicamente potremmo scriverlo così:

$$a>1\Rightarrow a>0\Rightarrow a^2>a\Rightarrow a^2>a>1\Rightarrow a^2>1.$$

Dimostrazione indiretta

La dimostrazione indiretta sfrutta di più le proprietà dell’implicazione. Se dobbiamo dimostrare un’affermazione della forma A ⇒ B, possiamo usare la contronominale dell’implicazione e dimostrare

$$\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A.$$

Questo procedimento a volte può essere più vantaggioso, per esempio, di quello diretto. Un procedimento simile è usato dalla dimostrazione per assurdo, alla quale si può ricondurre ogni dimostrazione indiretta. Proviamo a dimostrare per via indiretta l’affermazione

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Ora scriviamo la contronominale dell’implicazione:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\neg }(a=b)& \Rightarrow & \mathrm{\neg }(a-b=0)\\ a\ne b& \Rightarrow & a-b\ne 0\end{array}$$

Se a ≠ b, possiamo scomporre b come somma b = a + x, dove x rappresenta la distanza del numero b dal numero a. L’espressione cambia così:

$$a\ne (a+x)\Rightarrow a-(a+x)\ne 0;x\ne 0$$

Sottraiamo le variabili a che possiamo:

$$0\ne x\Rightarrow -x\ne 0;x\ne 0$$

Poiché x ≠ 0, è anche −x ≠ 0, quindi l’implicazione vale. L’affermazione è dimostrata, e quindi vale anche l’affermazione originale

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Altre tecniche di dimostrazione sono per esempio la già citata dimostrazione per assurdo o la dimostrazione per induzione.

Altre fonti

• Dimostrazione matematica su Wikipedia