Qué es una demostración

Las demostraciones son los cimientos de toda la matemática: gracias a las demostraciones, con unas pocas piedrecitas puedes construir una pirámide entera, y encima del revés.

Sentido de las demostraciones

Las demostraciones tienen sentido en matemáticas por varios motivos. El principal es que, sin la ayuda de las demostraciones, no podemos confirmar ninguna idea o hipótesis que se nos ocurra. Podríamos, por ejemplo, creer que hay una cantidad finita de números primos, pero si no tenemos una demostración, eso se queda en una afirmación sin fundamento. Por otro lado, incluso los enunciados no demostrados tienen sentido en matemáticas (y fuera de ellas). Simplemente se dice que, si se cumple la hipótesis de que hay un número finito de primos, entonces se cumple… alguna otra teoría.

Después no debemos extrañarnos de que alguien demuestre con el tiempo que hay infinitos números primos, como veremos más adelante, y toda nuestra teoría se derrumbe como un castillo de naipes. Gracias a las demostraciones podemos construir castillos de naipes que no se derrumbarán nunca.

La razón por la que se enseñan las demostraciones en clase es que quien entiende una demostración entiende también la materia. Normalmente es difícil comprender a fondo una materia sin entender las demostraciones. He resaltado la palabra «entender» a propósito: si te aprendes las demostraciones de memoria el día antes del examen y al día siguiente las vuelcas en el papel, eso no significa que estés más cerca de comprender la materia.

Las demostraciones, al estudiar una materia, responden a la pregunta «¿por qué funciona así?». Si entiendes por qué funciona algo, lo recordarás con más facilidad y, con el tiempo, comprenderás la materia bastante mejor que alguien que la estudió al estilo «empollar y olvidar». La cuestión es si ese es tu objetivo.

Qué es una demostración

Qué es una demostración se define formalmente en la lógica matemática, por ejemplo mediante la consecuencia sintáctica, pero nosotros nos conformamos con una definición mucho más sencilla.

Al comienzo de toda demostración debemos tener el enunciado que queremos demostrar. Ese enunciado lo designamos con el mágico símbolo ϕ. Es una letra griega que se lee «fi». Además necesitaremos un conjunto de axiomas y de hipótesis, que designaremos Ax, con los que demostraremos el enunciado ϕ. El conjunto de axiomas es algo que ya sabemos, algo que suponemos que se cumple. Pueden ser cosas como, por ejemplo, «todo número par es divisible por dos». Además, este conjunto puede contener, por ejemplo, fórmulas para transformar expresiones que están demostradas por otro lado y que ya suponemos ciertas, por ejemplo:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2;a,b\in \mathbb{R}$$

Ahora iremos transformando poco a poco los enunciados del conjunto Ax hasta obtener el enunciado ϕ. Todas las transformaciones deben ser lógicamente correctas, deben corresponder a la lógica proposicional básica. Por ejemplo, si quisiéramos demostrar la fórmula anterior, procederíamos transformando la expresión

$$(a+b{)}^2$$

mediante transformaciones equivalentes hasta obtener la expresión del segundo miembro. Lo muestro:

$$(a+b{)}^2=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=$$

$$=a\cdot a+2ab+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$$

En el primer paso hemos escrito la potencia como un producto, en el segundo hemos quitado los paréntesis, en el tercero hemos sumado los términos iguales y en el último paso hemos escrito el producto como una potencia. Cada paso era una transformación elemental que podíamos permitirnos, suponiendo que cada una de esas transformaciones elementales está contenida en el conjunto Ax.

Lo importante es que toda transformación debe ser válida, debe partir de algo que ya conocemos. Una demostración matemática es algo así como la evolución: mediante pequeñas transformaciones sucesivas obtenemos de una expresión otra distinta.

Demostraciones triviales

Una demostración trivial (o también evidente) es el término técnico para una demostración que no cabe en la pizarra, así que se salta y el estudiante la aprende de los apuntes como deberes. :-) Ahora en serio: las demostraciones triviales son demostraciones que suelen derivarse de una definición en un único paso trivial.

Probemos a mostrarlo con un ejemplo: consideremos el conjunto de los números naturales, es decir, el conjunto de números ℕ = {1, 2, 3, …}. Ahora podemos decir que toda fracción de la forma:

$$\frac{q}{p};q,p\in \mathbb{N}$$

es una fracción válida, es decir, no encontraremos ninguna pareja de números q, p para la que la fracción dada no tenga sentido. ¿Cómo lo demostraríamos? Primero necesitamos averiguar cuándo una fracción no tiene sentido. Una fracción no tiene sentido cuando hay un cero en el denominador (no podemos dividir entre cero). Tenemos, por tanto, que demostrar que p ≠ 0 para todos los p posibles. Pero sabemos que p lo tomamos de los números naturales, que hemos definido como ℕ = {1, 2, 3, …}. El conjunto de los números naturales no contiene el cero, así que el número p será siempre distinto de cero.

$$\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}:p\ne 0$$

Y ya tenemos la demostración. Sabemos que, si tanto el numerador como el denominador de la fracción son números naturales, la fracción será válida.

Las demostraciones triviales suelen ser realmente triviales, pero solo si conoces el contexto que las rodea. Por ejemplo, si no entiendes el concepto de conjunto o no sabes qué significa que p sea un elemento del conjunto ℕ, entonces tampoco esta demostración te habrá resultado trivial. Las demostraciones triviales no se caracterizan tanto por ser sencillas como por ser cortas y derivarse fácilmente de algún contexto (de dificultad cualquiera).

Contraejemplo

El contraejemplo es probablemente la forma más sencilla de demostrar que una expresión dada no es verdadera. Lo importante es la palabra no. Un contraejemplo puede señalar un caso en el que el enunciado dado no se cumple, pero, en general, ni siquiera muchísimos ejemplos bastan cuando hay infinitos elementos que comprobar.

Ejemplo: «todo número natural es mayor que diez». ¿Cómo demostramos que esto no es verdad? Un contraejemplo a nuestra afirmación es, por ejemplo, el número cinco. El número cinco es natural y no es mayor que diez. No podemos demostrar la afirmación enumerando unos cuantos números naturales mayores que diez. No puedes decir «los números naturales 11, 12, 13, 123 y 5345 son mayores que 10, así que el enunciado es verdadero». Eso no vale. Simplemente hemos elegido unos pocos ejemplos para los que nuestra afirmación se cumple, pero eso no dice nada sobre los demás números, de los que no hemos hablado en absoluto.

Segundo ejemplo: todo hombre de más de dos metros tiene los ojos marrones o azules. Supongo que poca gente es capaz de encontrar un contraejemplo. ¿Qué nos dice esto sobre el enunciado? Pues nada en absoluto. Si no somos capaces de encontrar un contraejemplo, eso no significa necesariamente que el enunciado sea verdadero. Puede que en algún lugar exista un contraejemplo y que simplemente no seamos capaces de encontrarlo. La incapacidad de encontrar un contraejemplo no demuestra que la afirmación sea verdadera.

Demostración directa

El tipo básico de demostración es la demostración directa. Sin rodeos, seguimos la definición y vamos transformando el enunciado inicial hasta obtener el enunciado que queremos obtener. Normalmente queremos demostrar un enunciado que tiene la forma de una implicación A ⇒ B, donde A es algún punto de partida, una hipótesis, y B es el enunciado que queremos deducir, demostrar. Si se cumple el enunciado A, entonces se cumple el enunciado B. A menudo nos dan solo el enunciado B, es decir, lo que queremos demostrar, y el enunciado A tenemos que elegirlo nosotros de forma adecuada.

A continuación viene un procedimiento en el que, mediante implicaciones, deducimos otros enunciados y el último enunciado es el enunciado B. Esquemáticamente se podría escribir así:

$$A\Rightarrow A_1\Rightarrow A_2\Rightarrow A_3\Rightarrow \dots \Rightarrow A_n\Rightarrow B$$

Como ejemplo, demostraremos que se cumple el enunciado

$$a>1\Rightarrow a^2>1$$

Ahora, por pasos:

1. Como a>1, seguro que se cumple también a>0 y también a ≠ 0 (en realidad solo debilitamos la condición).
2. Como a no es igual a cero y es positivo, podemos multiplicar sin miedo toda la desigualdad por la variable a. Si a fuera cero, la desigualdad estricta no se conservaría (obtendríamos 0>0), y si fuera negativo, tendríamos que invertir el sentido de la desigualdad. Tras multiplicar por la variable a obtenemos la expresión a²>a.
3. En este momento sabemos que a>1 y, al mismo tiempo, que a²>a. Si juntamos estas dos expresiones, obtenemos: a²>a>1.
4. De aquí solo eliminamos la expresión del medio y tenemos la expresión a²>1. Podemos hacerlo porque a es mayor que uno y a² es mayor que a. Si a² es mayor que a y a es a la vez mayor que uno, entonces seguro que a² es mayor que uno.

Simbólicamente podríamos escribirlo así:

$$a>1\Rightarrow a>0\Rightarrow a^2>a\Rightarrow a^2>a>1\Rightarrow a^2>1.$$

Demostración indirecta

La demostración indirecta aprovecha más las propiedades de la implicación. Si tenemos que demostrar un enunciado de la forma A ⇒ B, podemos usar la implicación contrarrecíproca y demostrar

$$\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A.$$

Este procedimiento puede ser a veces más ventajoso que, por ejemplo, la demostración directa. Un procedimiento parecido utiliza la demostración por reducción al absurdo, a la que se puede convertir toda demostración indirecta. Probemos a demostrar de forma indirecta el enunciado

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Ahora tomamos el contrarrecíproco de la implicación:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\neg }(a=b)& \Rightarrow & \mathrm{\neg }(a-b=0)\\ a\ne b& \Rightarrow & a-b\ne 0\end{array}$$

Si a ≠ b, podemos descomponer b como una suma b = a + x, donde x representa la distancia del número b al número a. La expresión cambia así:

$$a\ne (a+x)\Rightarrow a-(a+x)\ne 0;x\ne 0$$

Restamos las variables a que podemos:

$$0\ne x\Rightarrow -x\ne 0;x\ne 0$$

Como x ≠ 0, también −x ≠ 0, así que la implicación se cumple. El enunciado queda demostrado, con lo que se cumple también el enunciado original

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Otras técnicas de demostración son, por ejemplo, la ya mencionada demostración por reducción al absurdo o la demostración por inducción.

Otras fuentes

• Demostración matemática en Wikipedia