Was ist ein Beweis

Beweise sind die Grundbausteine der gesamten Mathematik: Mit Beweisen kannst du aus ein paar wenigen Steinchen eine ganze Pyramide bauen, und das sogar auf dem Kopf stehend.

Sinn von Beweisen

Beweise haben in der Mathematik aus mehreren Gründen einen Sinn. Der Hauptgrund ist, dass wir ohne Beweise keine Idee und keine Hypothese bestätigen können, die uns einfällt. Wir könnten zum Beispiel glauben, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt, aber solange wir keinen Beweis haben, bleibt das eine bloße Behauptung. Andererseits haben auch unbewiesene Aussagen in der Mathematik (und anderswo) ihren Sinn. Man sagt einfach: Wenn die Annahme gilt, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt, dann gilt … irgendeine andere Theorie.

Dann dürfen wir uns aber nicht wundern, wenn jemand nach einiger Zeit beweist, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, wie wir weiter unten zeigen, und unsere ganze Theorie wie ein Kartenhaus zusammenbricht. Dank der Beweise können wir also Kartenhäuser bauen, die nie einstürzen.

Der Grund, warum Beweise in der Schule gelehrt werden, ist, dass derjenige, der einen Beweis versteht, auch den jeweiligen Stoff versteht. Meistens kann man den Stoff kaum gründlich verstehen, ohne die Beweise zu begreifen. Das Wort „begreifen“ habe ich ganz bewusst hervorgehoben: Wenn du die Beweise nämlich am Tag vor der Prüfung auswendig lernst und am nächsten Tag nur noch aufs Papier auskotzt, heißt das nicht, dass du dem Verständnis des Themas näher bist.

Beim Lernen eines Stoffes beantworten Beweise also die Frage „Warum funktioniert das so?“ Wenn du verstehst, warum etwas funktioniert, merkst du es dir leichter und wirst den Stoff mit der Zeit deutlich besser verstehen als jemand, der nach dem Prinzip „Bulimie-Lernen“ gelernt hat. Die Frage ist, ob das dein Ziel ist.

Was ist ein Beweis

Was ein Beweis ist, wird in der mathematischen Logik zum Beispiel mithilfe der syntaktischen Folgerung formal definiert, wir kommen aber mit einer viel einfacheren Definition aus.

Am Anfang jedes Beweises müssen wir eine Behauptung haben, die wir beweisen wollen. Diese Behauptung bezeichnen wir mit dem magischen Symbol ϕ. Das ist ein griechischer Buchstabe, den wir „phi“ lesen. Außerdem brauchen wir eine Menge von Axiomen und Voraussetzungen, die wir Ax nennen, mit deren Hilfe wir die Behauptung ϕ beweisen. Die Menge der Axiome ist etwas, das wir schon wissen und von dem wir annehmen, dass es gilt. Das können zum Beispiel Dinge sein wie „jede gerade Zahl ist durch zwei teilbar“. Außerdem kann diese Menge zum Beispiel Formeln zum Umformen von Termen enthalten, die irgendwo nebenbei bewiesen wurden und von denen wir schon annehmen, dass sie gelten, zum Beispiel:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2;a,b\in \mathbb{R}$$

Nun formen wir die Aussagen in der Menge Ax Schritt für Schritt so um, bis wir die Behauptung ϕ erhalten. Alle Umformungen müssen logisch korrekt sein und der grundlegenden Aussagenlogik entsprechen. Wenn wir zum Beispiel die vorherige Formel beweisen wollten, würden wir so vorgehen, dass wir den Term

$$(a+b{)}^2$$

mit Äquivalenzumformungen umformen, bis wir den Term auf der rechten Seite erhalten. Ich führe es vor:

$$(a+b{)}^2=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=$$

$$=a\cdot a+2ab+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$$

Im ersten Schritt haben wir die Potenz als Produkt geschrieben, im zweiten Schritt haben wir die Klammern ausmultipliziert, im dritten Schritt haben wir gleiche Terme addiert und im letzten Schritt haben wir das Produkt als Potenz geschrieben. Jeder Schritt war eine elementare Umformung, die wir uns erlauben durften, wobei wir annehmen, dass jede dieser elementaren Umformungen in der Menge Ax enthalten ist.

Wichtig ist, dass jede Umformung gültig sein muss, sie muss von etwas ausgehen, das wir schon kennen. Ein mathematischer Beweis ist so etwas wie Evolution – durch schrittweise kleine Veränderungen erhalten wir aus einem Term einen anderen.

Triviale Beweise

Ein trivialer Beweis (oder auch offensichtlicher Beweis) ist ein Fachbegriff für einen Beweis, der nicht auf die Tafel passt, weshalb er übersprungen wird und der Student ihn als Hausaufgabe aus dem Skript lernt. :-) Im Ernst – triviale Beweise sind Beweise, die typischerweise in einem einzigen trivialen Schritt aus einer Definition folgen.

Probieren wir es an einem Beispiel: Wir nehmen die Menge der natürlichen Zahlen, also die Menge der Zahlen ℕ = {1; 2; 3; …}. Wir können nun sagen, dass jeder Bruch der Form

$$\frac{q}{p};q,p\in \mathbb{N}$$

ein gültiger Bruch ist, d. h., wir finden kein Zahlenpaar q, p, für das der gegebene Bruch keinen Sinn hätte. Wie würden wir das beweisen? Zuerst müssen wir herausfinden, wann ein Bruch keinen Sinn hat. Ein Bruch hat keinen Sinn, wenn im Nenner null steht (wir können nicht durch null teilen). Wir müssen also beweisen, dass p ≠ 0 für alle möglichen p gilt. Wir wissen aber, dass wir p aus den natürlichen Zahlen nehmen, die wir als ℕ = {1; 2; 3; …} definiert haben. Die Menge der natürlichen Zahlen enthält die Null nicht, also ist die Zahl p immer von null verschieden.

$$\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}:p\ne 0$$

Und der Beweis ist geschafft. Wir wissen: Wenn Zähler und Nenner des Bruchs natürliche Zahlen sind, ist der Bruch gültig.

Triviale Beweise sind meistens wirklich trivial, aber nur, wenn man den Kontext kennt. Wenn du zum Beispiel den Begriff Menge nicht verstehst oder nicht weißt, was es bedeutet, dass p ein Element der Menge ℕ ist, dann war auch dieser Beweis für dich nicht trivial. Triviale Beweise zeichnen sich also weniger dadurch aus, dass sie einfach sind, sondern dadurch, dass sie kurz sind und einfach aus einem (beliebig schwierigen) Kontext folgen.

Gegenbeispiel

Das Gegenbeispiel ist wohl die einfachste Form, zu beweisen, dass eine gegebene Aussage nicht wahr ist. Wichtig ist das Wort nicht. Ein Gegenbeispiel kann nämlich auf einen Fall hinweisen, in dem die gegebene Aussage nicht gilt, aber im Allgemeinen reichen auch noch so viele Beispiele nicht aus, wenn unendlich viele Elemente im Spiel sind, die wir testen könnten.

Beispiel: „Jede natürliche Zahl ist größer als zehn.“ Wie beweisen wir, dass das nicht stimmt? Ein Gegenbeispiel zu unserer Behauptung ist zum Beispiel die Zahl fünf. Die Zahl fünf ist eine natürliche Zahl und nicht größer als zehn. Die Behauptung können wir nicht dadurch beweisen, dass wir einige natürliche Zahlen aufzählen, die größer als zehn sind. Du kannst nicht sagen: „Die natürlichen Zahlen 11, 12, 13, 123 und 5345 sind größer als 10, also ist die Aussage wahr.“ Das geht nicht. Wir haben uns nur einige wenige Beispiele ausgesucht, für die unsere Behauptung gilt, aber das sagt nichts über die anderen Zahlen, die wir gar nicht erwähnt haben.

Zweites Beispiel: Jeder Mann, der größer als zwei Meter ist, hat braune oder blaue Augen. Ich nehme an, dass kaum jemand in der Lage ist, ein Gegenbeispiel zu finden. Was sagt uns das über die Aussage? Nun, gar nichts. Wenn wir kein Gegenbeispiel finden können, bedeutet das nicht unbedingt, dass die Aussage wahr ist. Irgendwo kann ein Gegenbeispiel existieren, wir können es nur gerade nicht finden. Dass wir kein Gegenbeispiel finden, beweist nicht, dass die Behauptung wahr ist.

Direkter Beweis

Die grundlegende Art des Beweises ist der direkte Beweis. Nüchtern gehen wir nach der Definition vor und formen die ursprüngliche Aussage um, bis wir die Aussage erhalten, die wir erhalten wollen. Typischerweise wollen wir eine Aussage beweisen, die die Form einer Implikation A ⇒ B hat, wobei A ein Ausgangspunkt, eine Voraussetzung ist und B die Aussage, die wir herleiten, beweisen wollen. Wenn die Aussage A gilt, dann gilt die Aussage B. Oft ist nur die Aussage B gegeben, also das, was wir beweisen wollen, und die Aussage A müssen wir uns passend selbst wählen.

Es folgt ein Vorgehen, bei dem wir mithilfe von Implikationen weitere Aussagen herleiten und als letzte Aussage die Aussage B steht. Schematisch könnte man es so aufschreiben:

$$A\Rightarrow A_1\Rightarrow A_2\Rightarrow A_3\Rightarrow \dots \Rightarrow A_n\Rightarrow B$$

Als Beispiel beweisen wir, dass die Aussage

$$a>1\Rightarrow a^2>1$$

gilt. Nun Schritt für Schritt:

1. Da a>1 ist, gilt sicher auch a>0 und ebenso a ≠ 0 (wir schwächen eigentlich nur die Bedingung ab).
2. Da a ungleich null und positiv ist, können wir die ganze Ungleichung ohne Bedenken mit der Variablen a multiplizieren. Wäre a gleich null, bliebe die strenge Ungleichung nicht erhalten (wir bekämen 0>0), wäre es negativ, müssten wir die Ungleichung umdrehen. Nach der Multiplikation mit der Variablen a erhalten wir die Ungleichung a²>a.
3. Jetzt wissen wir, dass a>1 gilt, und zugleich wissen wir, dass a²>a gilt. Wenn wir diese beiden Ausdrücke zusammensetzen, erhalten wir: a²>a>1.
4. Daraus entfernen wir nur noch den mittleren Ausdruck und haben a²>1. Das durften wir uns erlauben, weil a größer als eins ist und a² größer als a ist. Wenn a² größer als a ist und a zugleich größer als eins ist, dann ist a² sicher größer als eins.

Symbolisch könnten wir es so aufschreiben:

$$a>1\Rightarrow a>0\Rightarrow a^2>a\Rightarrow a^2>a>1\Rightarrow a^2>1.$$

Indirekter Beweis

Der indirekte Beweis nutzt die Eigenschaften der Implikation stärker. Wenn wir eine Aussage der Form A ⇒ B beweisen sollen, können wir die Kontraposition verwenden und stattdessen Folgendes beweisen:

$$\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A.$$

Dieses Vorgehen kann manchmal günstiger sein als zum Beispiel der direkte Beweis. Ein ähnliches Vorgehen verwendet der Widerspruchsbeweis, auf den sich jeder indirekte Beweis zurückführen lässt. Beweisen wir indirekt die Aussage

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Nun bilden wir die Kontraposition der Implikation:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\neg }(a=b)& \Rightarrow & \mathrm{\neg }(a-b=0)\\ a\ne b& \Rightarrow & a-b\ne 0\end{array}$$

Wenn a ≠ b ist, können wir b als Summe b = a + x schreiben, wobei x den Abstand der Zahl b von der Zahl a darstellt. Die Aussage ändert sich so:

$$a\ne (a+x)\Rightarrow a-(a+x)\ne 0;x\ne 0$$

Wir heben die Variablen a auf, wo es geht:

$$0\ne x\Rightarrow -x\ne 0;x\ne 0$$

Da x ≠ 0 ist, ist auch −x ≠ 0, die Implikation gilt also. Die Aussage ist bewiesen, damit gilt auch die ursprüngliche Aussage

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Weitere Beweistechniken sind zum Beispiel der bereits erwähnte Widerspruchsbeweis oder der Beweis durch Induktion.

Weitere Quellen

• Mathematischer Beweis auf Wikipedia