Парадокси теорії множин

Наївна теорія множин містить деякі цікаві парадокси, які зрештою привели до створення докладнішої теорії множин. Ці парадокси часто спираються на те, що в класичній, наївній, теорії множин множина може містити саму себе як свій елемент.

Парадокс Рассела

Один із найвідоміших парадоксів — парадокс Рассела. Його можна сформулювати так: нехай маємо множину N, яка містить саме ті множини, що не містять самих себе як свій елемент. Тобто якщо множина містить саму себе як свій елемент, то вона не належить множині N. Якщо не містить себе, то до множини N належить.

Питання таке: чи містить множина N як свій елемент множину N, тобто саму себе?

Розглянувши випадки, з'ясуємо: якщо множина N не містить N, то це множина, яка не містить самої себе, і вона мала б бути в множині N, тобто мало б виконуватися N ∈ N.

Але якщо множина N містить елемент N, то не мало б виконуватися N ∈ N, бо множина N містить лише ті множини, які не містять самих себе як свій елемент.

Парадокс полягає в тому, що ми щоразу порушуємо якусь із умов. Якщо N ∈ N, це суперечить означенню множини N (вона містить лише множини, які не містять самих себе, а тут N явно містить N як свій елемент), а якщо N ∈ N не виконується, то ми знову порушуємо означення N.

Отже, таку множину побудувати не можна, чого в правильній теорії множин статися не повинно.

Парадокс Рассела має й кілька природних інтерпретацій. Наприклад, парадокс цирульника. У місті є цирульник, який голить саме тих людей, які не голять самі себе. Виникає питання: чи голить цирульник самого себе?

Парадокс Кантора

Ще один парадокс — парадокс Кантора. Він спирається на те, що коли маємо множину M, то її булеан P(M) (множина всіх підмножин множини M) завжди має більшу потужність, тобто він більший. У скінченних множинах це видно одразу, а для нескінченних це можна легко довести. Це твердження, до речі, називається теоремою Кантора, а її точне формулювання та доведення можна знайти у Вікіпедії.

Сам парадокс простіший за попередній. Уявімо множину всіх множин і позначимо її M. Тобто для будь-якої множини N виконується N ∈ M. Але за теоремою Кантора потужність булеана P(M) більша за потужність M. Це суперечить тому, що M містить усі множини: якщо множина P(M) більша за M, вона неминуче містить елементи, яких множина M не містить.