✖

Звідки взялося число Ейлера

Число Ейлера — одна з найвідоміших математичних констант, поряд, наприклад, із числом пі — π. Розкажемо, як ми дійшли до цього числа і що воно означає.

У XVII столітті швейцарський математик Якоб Бернуллі цікавився складними відсотками. Уявімо, що в нас є одна гривня, яку ми кладемо в банк, а банк пропонує нам 100 % річних. З боку банку це чисте божевілля, але чого не зробиш заради математики. Скільки грошей буде на рахунку рівно через рік? Матимемо дві гривні.

А як зміниться ситуація, якщо банк запропонує 50 %, які нараховуватимуться кожні півроку? Для нас це буде вигідніше чи ні?

За перші півроку в нас стане на половину більше. «На половину більше» в математиці записують як $x \cdot (1+\frac12)$. Замість x підставимо наш внесок, тобто одну гривню, і обчислимо

$$1\cdot \left(1+\frac12\right)=1{,}5$$

Через півроку на рахунку буде 1,5 гривні. За другі півроку в нас знову стане на половину більше. Скористаємося тією самою формулою, лише замість x підставимо новий залишок, тобто 1{,}5:

$$1{,}5\cdot \left(1+\frac12\right)=2{,}25$$

Отже, через рік на рахунку буде 2,25 гривні. Тож частіше нараховувати менші відсотки для нас вигідно.

Нарахування щомісяця

А що, якби банк пропонував нараховувати відсотки щомісяця, але ставка становила б одну дванадцяту від початкової? Ого, тут уже доведеться трохи пораховувати. Який залишок буде після першого місяця? Буде «на одну дванадцяту більше», що ми запишемо як $x \cdot (1+\frac{1}{12})$. Тож після першого місяця матимемо:

$$1\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)=1{,}0833333\dots$$

Після другого місяця матимемо

$$1{,}0833333\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)=1{,}17361111\dots$$

Але зауваж, що замість числа 1,0833333 можна записати $1\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)$, адже ми знаємо, що ці числа рівні:

$$1\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)=1{,}17361111\dots$$

Після третього місяця на рахунку буде:

$$1\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)=1{,}27141203$$

Як бачиш, наші обчислення мають певну закономірність. Вираз у дужках повторюється стільки разів, скільки місяців минуло. Попередній вираз можна спростити: замість трьох однакових дужок запишемо одну й піднесемо її до третього степеня:

$$1\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)^3=1{,}27141203$$

А множення на одиницю на початку теж зайве, тож його прибираємо:

$$\left(1+\frac{1}{12}\right)^3=1{,}27141203$$

Якщо тепер хочемо обчислити залишок після дванадцяти місяців, то в показнику замість трійки просто поставимо число 12:

$$\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}=2{,}6130352$$

Через дванадцять місяців на рахунку буде приблизно 2,6130352 гривні. Непогано! І це набагато краще, ніж було зі ставкою 100 % річних, нарахованою раз на рік.

Неперервне нарахування

Зупинятися на місяцях зовсім не обов'язково. Скільки було б, якби відсотки нараховувалися щотижня за ставкою $\frac{1}{52}$ від початкової? Формулу ми вже знаємо, тож просто підставимо:

$$\left(1+\frac{1}{52}\right)^{52}=2{,}6925969$$

А щоденне нарахування?

$$\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365}=2{,}7145674$$

Щогодини? (У році 8760 годин)

$$\left(1+\frac{1}{8760}\right)^{8760}=2{,}718126$$

Бачимо, що щоразу, коли ми беремо меншу ставку й нараховуємо її частіше, наприкінці на рахунку трохи більше грошей. Але приріст уже не такий великий. Так можна було б продовжувати до нескінченності. Власне, це непогана ідея: можна нараховувати щохвилини, щосекунди, щомілісекунди, щонаносекунди… аж доки не дійдемо до того, що нараховуємо відсотки неперервно. Ми мали б неперервну крихітну ставку, за якою залишок збільшується в кожну мить. Скільки грошей було б на рахунку через рік у такому разі?

Повернімося до числа Ейлера

Саме це питання намагався розв'язати Якоб Бернуллі. На жаль, йому це не вдалося, і лише у XVIII столітті це зробив уславлений математик Леонард Ейлер. Він обчислив, що через рік на рахунку було б

$$2{,}71828182845904523536028747135\dots$$

гривні. Бачиш, це вже не набагато більше, ніж коли відсотки нараховувалися щогодини. А оскільки виявилося, що цей залишок, це число, дуже важливе в різних розділах математики, його донині називають числом Ейлера і позначають літерою e. Число Ейлера — ірраціональне число, тобто число, що має нескінченний неперіодичний десятковий розклад. Подібно, наприклад, до числа π. Тож цілим ти його ніколи не побачиш. Проте число Ейлера можна точно означити за допомогою границі функції:

$$e=\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

Джерела та посилання