Алгебраїчні числа
Число, яке є коренем деякого многочлена з цілими коефіцієнтами, називають алгебраїчним числом. Що це означає на практиці? Візьмемо будь-яке число й зіграймо з ним у невелику математичну гру. Мета гри — взяти якесь число x і звести його до нуля, причому дозволено користуватися лише додаванням, відніманням, множенням і степенями, а для перетворень можна брати тільки цілі числа. На прикладах усе стане зрозуміліше.
Для початку візьмемо число 42. Як його перетворити, щоб дістати нуль? Можна відняти від нього ціле число 42, і вийде нуль (множити на нуль не дозволено):
$$\large42-42=0$$
Оскільки число 42 вдалося звести до нуля, воно алгебраїчне. Це було доволі просто. А що з якимось дробом, наприклад $\frac73$? Ми можемо працювати лише з цілими числами, тому відняти від цього дробу $\frac73$, щоб дістати нуль, не можна. Доведеться вчинити інакше. Спершу помножимо дріб на три:
$$\large3\cdot\frac73=\frac{3\cdot7}{3}=7$$
Ми отримали ціле число, а його вже вміємо звести до нуля: віднімемо сім. Отже, можемо записати
$$\large3\cdot\frac73-7=0$$
і сказати, що дріб сім третіх теж є алгебраїчним числом. Візьмемо ще складніше число — квадратний корінь із двох: $\sqrt2$. Ні множення, ні додавання нам тут не допоможуть, спершу треба позбутися кореня. Піднесемо вираз до квадрата:
$$\large\left(\sqrt2\right)^2=2$$
Ми отримали ціле число, яке вміємо звести до нуля, — віднімемо два:
$$\large\left(\sqrt2\right)^2-2=0$$
Отже, корінь із двох, який є ірраціональним числом, теж алгебраїчне число. Поки що здається, що кожне число, яке ми пробуємо, алгебраїчне. А як щодо числа Ейлера e? Воно теж ірраціональне, тож має нескінченний неперіодичний десятковий розклад, подібно до кореня з двох. Його наближене значення — 2,71. Але на відміну від кореня з двох, звести його до нуля за допомогою дозволених нам операцій не вдається. Скільки б ми до числа Ейлера щось додавали, на щось його множили чи підносили до степеня, ми щоразу отримуватимемо чергове ірраціональне число. Тож число Ейлера не є алгебраїчним, ура!
Так само не є алгебраїчним число пі, яке дорівнює приблизно 3,14.
Числа, які не є алгебраїчними, називають трансцендентними.
Точніше означення
Отже, для кожного алгебраїчного числа має існувати многочлен із цілими коефіцієнтами, коренем якого є саме це число. Корінь многочлена — це таке число, при якому многочлен дорівнює нулю. Повернімося до прикладів вище: для числа 42 ми отримали б рівняння
$$x-42=0$$
і, оскільки коренем многочлена x − 42 є якраз x = 42, число 42 алгебраїчне. Для раціонального числа $\frac73$ це було б рівняння
$$3x-7=0$$
адже коренем многочлена 3x − 7 є саме $x = \frac73$. І нарешті для кореня з двох ми отримали б
$$x^2-2=0$$
бо коренем многочлена x2 − 2 є якраз корінь із двох. Для числа Ейлера чи числа пі такого рівняння, тобто такого многочлена, скласти не вдасться, адже вони трансцендентні й алгебраїчними не є.
Приклади алгебраїчних чисел
- Кожне ціле число є також алгебраїчним.
- Кожне раціональне число (дріб) алгебраїчне.
- З ірраціональними числами складніше. Як ми бачили, деякі ірраціональні числа алгебраїчні, наприклад корінь із двох, а деякі ні, як-от число Ейлера.
- Корінь n-го степеня з будь-якого цілого числа алгебраїчний.
- Золотий перетин — алгебраїчне число.