Нескінченність

Нескінченність — це абстрактне поняття, яке, по суті, навіть уявити неможливо. Сама нескінченність не має кінця, звідси й назва, але загальна нескінченність не має й початку (щоправда, її можна уточнити: наприклад, промінь теж нескінченний, але початок має). Нескінченність зазвичай записують так званою «лежачою вісімкою» — ∞.

Рахуємо з нескінченностями

Нескінченність почасти схожа на нуль: той теж у багатьох відношеннях особливий, і для нього діють особливі правила. Наприклад, на нуль ділити не можна — це, мабуть, знає кожна мала дитина (до речі, чи знаєш ти такий жарт? Яке найкраще виправдання, якщо не зробив домашнє завдання з математики? «Вчителько, я випадково почав ділити на нуль, і зошит згорів…» ;o)).

Подібно до того, як будь-що, помножене на нуль, дорівнює нулю, так і будь-що, помножене на нескінченність або додане до нескінченності, дорівнює нескінченності. Якщо від нескінченності відняти як завгодно велике число, завжди залишиться нескінченність. Так само буде, якщо спробувати нескінченність на щось поділити. Нескінченність просто настільки велика, що навіть якщо віднімати від неї щосекунди мільйони, усе одно щоразу залишатиметься нескінченність. Іноді це важко збагнути, наприклад, розгляньмо таку рівність: ∞ + 1 = ∞. Правильна вона чи ні?

Логіка підказує, що ліва частина рівності більша: адже якщо до нескінченності додати одиницю, увесь вираз має бути більшим за саму лише нескінченність. Аж ніяк :-). Як уже зазначалося, нескінченність плюс будь-що дорівнює нескінченності. Отже, нескінченність плюс один — це нескінченність, а нескінченність дорівнює нескінченності. Рівність правильна.

Можна піти й іншим шляхом — через границі. Розгляньмо дріб 1/x і знайдімо границю справа при x→0⁺, припустивши, що зошит у нас не згорів. Така границя дорівнювала б нескінченності. Якщо до цього виразу додати одиницю, матимемо вираз (1+x)/x, і границя при x→0⁺ знову була б нескінченністю.

Веселощі починаються, коли нескінченностей стає більше і ми починаємо їх комбінувати. Наприклад, чому дорівнює вираз «нескінченність мінус нескінченність»? Логіка підказує, що ми віднімаємо одне від одного два однакові за величиною числа, тож результат буде нуль. Але ж, як уже зазначалося, коли від нескінченності відняти будь-яке число, результатом знову буде нескінченність. І навпаки: якщо від будь-якого числа відняти нескінченність, вийде мінус нескінченність. Як же з цього вибратися? Теоретично можливі всі результати. Математика стверджує, що вираз ∞ − ∞ не дорівнює нічому конкретному, це невизначеність (невизначений вираз). Це схоже на спробу ділити на нуль: просто не має сенсу. Якщо натрапиш на такий невизначений вираз, його треба якось перетворити (для деяких видів невизначеностей можна скористатися, наприклад, правилом Лопіталя).

Інші невизначені вирази:

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• $1^∞$

До речі, основні правила щодо знаків діють, наприклад, −1 · ∞ дорівнює мінус нескінченності.

Хочеш збожеволіти?

Тоді берися за теорію множин і порахуй, яка множина більша. Наприклад, чи більша множина парних чисел, чи непарних? Парних чи натуральних? Натуральних чи цілих? Парних чи цілих? Натуральних чи раціональних? Відповідь така: усі вони однаково великі. Хоч як дивно це може здаватися (адже цілих чисел має бути більше, ніж непарних), множини однаково великі. Зате множина дійсних чисел більша за всі згадані. Сам біс у цьому не розбереться ;-)