✖

Виділення повного квадрата

За допомогою методу виділення повного квадрата можна записати квадратичну функцію ax2 + bx + c у вигляді (x + m)2 + n.

Алгоритм виділення повного квадрата

Алгоритм використовує класичну формулу піднесення суми до квадрата:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Діємо так. Поки що припустімо, що a = 1. Нехай маємо квадратичну функцію f(x) = x2 + 6x + 1 і хочемо перетворити її на вигляд (x + m)2 + n. Спершу визначимо значення в першій дужці: (x + m)2. Яке число треба підставити замість m? За формулою має виконуватися рівність (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. У функції f маємо x2 — це збігається. Але на місці лінійного члена в нас 6x. Яке значення треба обрати для m, щоб виконувалася рівність 6x = 2mx? Очевидно, має бути m = b/2 = 6/2 = 3. Отже, замість m завжди підставляємо половину числа b з квадратичної функції.

Так отримали вигляд (x + 3)2 + n. Залишилося визначити число n. Ми вже знаємо, що (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. Частина x2 + 2mx потрібна, а ось вираз m2 там зайвий: у функції f йому нічого не відповідає. Тому від поточного результату віднімемо m2. Отримаємо вигляд (x + m)2 − m2, що після розкриття дужок дорівнює x2 + 2mx + m2 − m2. Після віднімання лишається тільки x2 + 2mx.

Проте у функції f є ще вільний член c. Його просто додаємо. Отримаємо вигляд (x + m)2 − m2 + c, після розкриття дужок x2 + 2mx + m2 − m2 + c, а після спрощення x2 + 2mx + c. Оскільки m = b/2, цей вираз дорівнює x2 + bx + c, тобто після розкриття дужок у виразі (x + m)2 − m2 + c ми повертаємося до початкової функції, отже, обчислили правильно. (Нагадую, що a = 1, тож ніде нічого не бракує.)

Для нашої функції f отримуємо вираз із повним квадратом (x + 3)2 − 9 + 1 = (x + 3)2 − 8. Можна перевірити, розкривши дужки в зворотному напрямку:

$$\begin{eqnarray} (x+3)^2-8&=&x^2+6x+9-8\\ &=&x^2+6x+1 \end{eqnarray}$$

Метод виділення повного квадрата використовують, наприклад, коли треба побудувати графік квадратичної функції.

Коли a≠1

Якщо у функції a≠1, то з усієї функції виносимо за дужки число a і діємо так, як уже вміємо. Приклад:

$$2x^2+16x-12=0$$

З усього виразу виносимо двійку:

$$2\cdot(x^2+8x-6)=0$$

Вираз усередині дужок ми вже вміємо перетворювати на квадрат.

$$x^2+8x-6=(x+4)^2-16-6=(x+4)^2-22$$

Цей результат підставляємо в попередню рівність і отримуємо:

$$2\cdot(x^2+8x-6)=2\left((x+4)^2-22\right)=2(x+4)^2-44$$