Цілі числа
Цілі числа — це числа без дробової частини. Вони містять натуральні числа, протилежні до них (від'ємні) числа та нуль.
Властивості
Цілі числа утворюють множину, яка містить числа …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Цю множину зазвичай позначають літерою Z з подвоєним середнім штрихом: ℤ, від німецького «Zahlen» (числа). Цілі числа утворюють нескінченну й зліченну множину.
Цілі числа мають, наприклад, такі властивості:
- Вони замкнені відносно операцій додавання та множення, так само як і натуральні числа. Це означає, що коли ми додамо два цілі числа, то знову отримаємо ціле число.
- На відміну від натуральних чисел, цілі числа замкнені також відносно віднімання. Натуральні числа не були замкнені, бо різницею двох натуральних чисел могло вийти від'ємне число. Для цілих чисел це не проблема, адже вони від'ємні числа містять.
- Так само як натуральні числа, вони не замкнені відносно ділення. І далі справедливо, що після ділення можна отримати неціле число.
- Для кожного цілого числа c існує протилежне число −c. Якщо маємо число 10, то протилежне до нього −10. Для 55 це −55. І так само з від'ємними числами: для −13 протилежним елементом є 13. Якщо маємо ціле число c і протилежне до нього −c, то їхня сума дорівнює нулю: c+(−c) = 0. Тому протилежним елементом до нуля знову є нуль.
Парні та непарні числа
Цілі числа можна розділити на парні та непарні. Парні числа — це числа, які діляться на двійку, тобто 2, −4, −8, 40, 124 тощо. Непарні числа при діленні на два дають остачу один, тобто це числа −1, 1, 5, 19, −41 тощо. Зверни увагу, що парність і непарність розрізняють і для від'ємних чисел (тобто число −5 справді непарне) та що нуль — парне число.
Властивості щодо операції додавання: якщо додати два парні числа, отримаємо знову парне число. Інші властивості показує така таблиця:
$$\begin{eqnarray} \mbox{парне}+\mbox{парне}&=&\mbox{парне}\\ \mbox{парне}+\mbox{непарне}&=&\mbox{непарне}\\ \mbox{непарне}+\mbox{непарне}&=&\mbox{парне} \end{eqnarray}$$
Подібна таблиця для множення:
$$\begin{eqnarray} \mbox{парне}\cdot\mbox{парне}&=&\mbox{парне}\\ \mbox{парне}\cdot\mbox{непарне}&=&\mbox{парне}\\ \mbox{непарне}\cdot\mbox{непарне}&=&\mbox{непарне} \end{eqnarray}$$
Ділення з остачею
На множині цілих чисел, як і для натуральних, можна означити ділення з остачею, лише треба впоратися з від'ємними числами. Тому означення цього разу виглядає так:
$$a=q\cdot b+r,\qquad a,q\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\}, 0\le r<|b|$$
У цьому виразі ми ділимо a:b, число q — це частка, а число r — остача від ділення. Число b має бути відмінним від нуля, бо на нуль ділити не можна. Остача має бути невід'ємною та меншою за модуль числа b, що виключає випадок, коли б ми ділили на від'ємне число.
Як тоді виглядало б таке ділення? Спробуймо поділити −21:4. Числа виглядатимуть так:
$$-21=-6\cdot4+3$$
Частка дорівнює −6, а остача — 3. Тебе може здивувати, що частка інша, ніж у випадку, коли всі числа додатні:
$$21=5\cdot4+1$$
Тут частка дорівнювала б 5, а остача 1. Різниця саме у від'ємних числах. Для додатних чисел на першому кроці ми шукаємо найбільше ціле число, яке не більше за 21 і ділиться на чотири без остачі. Це число 20. Тому ділимо 20:4 = 5 і отримуємо нашу п'ятірку. Остачу тоді знаходимо як різницю 21 − 20.
З від'ємними числами діємо так само. Шукаємо найбільше число, яке не більше за −21 і ділиться на 4 без остачі. Але число −20 більше за −21. Тому найбільше число, яке не більше за −21 і ділиться на 4 без остачі, — це число −24. Остачу знову знаходимо як різницю −21−(−24) = −21 + 24 = 3.