Όριο συνάρτησης

Το όριο συνάρτησης είναι μία από τις σημαντικότερες έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης. Περιγράφει τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης κοντά σε ένα συγκεκριμένο σημείο και χάρη σε αυτό μπορούμε για παράδειγμα να ορίσουμε τη συνέχεια της συνάρτησης. Το όριο συνάρτησης μας βοηθά να καταλάβουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης ακόμη και σε σημεία στα οποία δεν ορίζεται καθόλου.

Περιοχή σημείου

Ξεκινάμε με τον ορισμό της ε-περιοχής ενός σημείου στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Έστω r ∈ ℝ. Τότε ε-περιοχή αυτού του σημείου, για ϵ > 0, ονομάζουμε το ανοικτό διάστημα (r − ϵ, r + ϵ). Η ε-περιοχή χωρίς το σημείο είναι η ίδια, απλώς δεν περιέχει το σημείο r. Η περιοχή χωρίς το σημείο είναι (r − ϵ, r) ∪ (r, r + ϵ). Την ε-περιοχή του σημείου a τη συμβολίζουμε U(a, ϵ) και την περιοχή χωρίς το σημείο R(a, ϵ).

Για παράδειγμα παίρνουμε τον αριθμό πέντε και τη 2-περιοχή του. Υπολογίζουμε λοιπόν το U(5, 2), που είναι το διάστημα (5 − 2, 5 + 2) = (3, 7). Η περιοχή χωρίς το σημείο θα ήταν R(5, 2) = (3, 5) ∪ (5, 7). Η ίδια περιοχή, μόνο χωρίς το σημείο πέντε. Γραφική απεικόνιση της 2-περιοχής του σημείου 5:

Η 2-περιοχή χωρίς το σημείο θα έδειχνε το ίδιο, μόνο που δεν θα περιλαμβανόταν το μπλε σημείο 5.

Σημείο συσσώρευσης

Στη συνέχεια χρειαζόμαστε τον ορισμό του σημείου συσσώρευσης ενός συνόλου. Ένα στοιχείο a ∈ ℝ είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου M ⊆ ℝ, αν σε κάθε περιοχή του χωρίς το ίδιο το σημείο, οσοδήποτε μικρή, βρίσκεται κάποιο σημείο του συνόλου M. Πιο ακριβώς:

$$\mathrm{\forall }ϵ>0:R(a,ϵ)\cap M\ne \mathrm{\varnothing }$$

Παραδείγματα: κάθε πραγματικός αριθμός είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Αν διαλέξουμε τον αριθμό 10, σε οποιαδήποτε περιοχή αυτού του σημείου χωρίς το ίδιο το σημείο θα βρούμε πάντα πραγματικό αριθμό. Για $ϵ=\frac{1}{100}$ παίρνουμε την περιοχή (9,99; 10) ∪ (10; 10,01). Και στα δύο διαστήματα βρίσκεται κάποιος πραγματικός αριθμός – πιο ακριβώς, βρίσκονται άπειροι πραγματικοί αριθμοί. Έτσι, όσο μικρό ϵ κι αν πάρουμε, θα παίρνουμε πάντα διαστήματα που περιέχουν άπειρους πραγματικούς αριθμούς.

Αν για M διαλέγαμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δεν θα βρίσκαμε κανένα σημείο συσσώρευσης. Για παράδειγμα ο αριθμός $\frac{1}{2}$ δεν είναι σημείο συσσώρευσης, γιατί για $ϵ=\frac{1}{10}$ παίρνουμε τα διαστήματα (0,4; 0,5) ∪ (0,5; 0,6), και κανένα από τα διαστήματα δεν περιέχει φυσικό αριθμό.

Κίνητρο για τα όρια

Ξεκινάμε με τον πιο εύκολο ορισμό – το πεπερασμένο όριο σε πραγματικό αριθμό. Πρώτα θα δείξουμε τι θέλουμε στην ουσία να υπολογίσουμε. Δες την ακόλουθη γραφική παράσταση της συνάρτησης πρόσημο:

Αν πάρουμε το σημείο x₁ = 3, η τιμή της συνάρτησης σε αυτό είναι 1. Ισχύει sgn(3) = 1. Ταυτόχρονα ισχύει και ότι για όλα τα «κοντινά» γειτονικά σημεία η συνάρτηση έχει τιμή 1, για παράδειγμα sgn(2,5) = 1 ή sgn(3,5) = 1. Όταν πλησιάζουμε το σημείο x₁ = 3 από αριστερά ή από δεξιά, οι τιμές της συνάρτησης είναι πάντα ίσες με ένα.

Αν όμως πάρουμε το σημείο x₂ = 0, ισχύει sgn(0) = 0, ενώ όλα τα γειτονικά σημεία έχουν άλλη τιμή! Για παράδειγμα $\text{sgn}(-\frac{1}{2})=-1$ ή $\text{sgn}(\frac{1}{2})=1$. Οι τιμές της συνάρτησης από δεξιά πλησιάζουν την τιμή 1, ενώ οι τιμές από αριστερά πλησιάζουν την τιμή −1. Και στο τέλος παίρνουμε στο σημείο x₂ = 0 την τιμή 0. Παγίδα! Αυτές οι τιμές, στις οποίες πλησιάζει η συνάρτηση σε ένα σημείο, ονομάζονται όρια της συνάρτησης στο σημείο.

Ορισμός του πεπερασμένου ορίου σε πραγματικό αριθμό

Έστω f μια συνάρτηση και x₀ ∈ ℝ σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f. Τότε λέμε ότι ο L ∈ ℝ είναι το όριο της συνάρτησης f στο σημείο x₀, αν

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Και τώρα τι σημαίνει αυτός ο ορισμός. Το σημείο x₀ είναι εδώ πραγματικός αριθμός. Αργότερα θα μιλήσουμε για όρια στο άπειρο. Ας δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε αυτό το όριο:

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=?.$$

Σε τόσο απλές συναρτήσεις ισχύει ότι το όριο της συνάρτησης στο σημείο x₀ είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο: f(x₀). Αργότερα θα ορίσουμε ακριβώς τι σημαίνει «απλή συνάρτηση». Τώρα ας τα σχεδιάσουμε όλα σε ένα σχήμα:

Η μαύρη ευθεία παριστάνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=\frac{x}{3}$, το κόκκινο σημείο x₀ παριστάνει το σημείο στο οποίο ψάχνουμε το όριο και το πράσινο σημείο L παριστάνει το όριο που προκύπτει. Πρόσεξε ότι το όριο το παριστάνουμε στον άξονα y.

Συνεχίζουμε σύμφωνα με τον ορισμό. Στην πρώτη θέση του ορισμού υπάρχει το (∀ϵ > 0) και αργότερα το ϵ χρησιμοποιείται στο |f(x) − L|<ϵ – αυτός είναι ο μαθηματικός τρόπος να πούμε ότι θέλουμε όλα τα f(x) να απέχουν από το L λιγότερο από ϵ. Ψάχνουμε λοιπόν την ϵ-περιοχή του σημείου L στον άξονα y. Σύμφωνα με τον ορισμό μπορούμε να διαλέξουμε οποιοδήποτε ϵ > 0, ας διαλέξουμε για παράδειγμα $ϵ=\frac{3}{10}$. Βρίσκουμε στον άξονα y τα σημεία που απέχουν από το σημείο L ακριβώς ϵ:

Όλα τα σημεία του άξονα y που βρίσκονται ανάμεσα σε αυτές τις πράσινες γραμμές ανήκουν στην ϵ-περιοχή του σημείου L. Αυτά είναι τα σημεία για τα οποία μιλά ο ορισμός.

Ο ορισμός συνεχίζεται με την παράσταση (∃δ>0), που χρησιμοποιείται αργότερα στην παράσταση 0<|x − x₀|<δ. Εμείς λέμε ότι κάποια διαφορά x − x₀ πρέπει να είναι μικρότερη από δ. Επειδή τα x, x₀ βρίσκονται στον άξονα x, και την τιμή δ θα την παριστάνουμε στον άξονα x. Η παράσταση 0<|x − x₀|<δ μας λέει πάλι να πάρουμε όλα τα x που απέχουν από το x₀ λιγότερο από δ, αλλά ταυτόχρονα περισσότερο από μηδέν, δηλαδή x ≠ x₀. Αυτό σημαίνει ότι ο συμβολισμός παριστάνει την δ-περιοχή του σημείου x₀ χωρίς το ίδιο το σημείο. Τον ορισμό του ορίου μπορούμε λοιπόν να τον ξαναγράψουμε ισοδύναμα με περιοχές σημείων:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x\in R(x_0,\delta )\Rightarrow f(x)\in U(L,ϵ))$$

Επιστρέφουμε στον προηγούμενο ορισμό και συνεχίζουμε να σχεδιάζουμε το σχήμα: για να το παραστήσουμε χρειαζόμαστε το επόμενο μέρος του ορισμού:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Δηλαδή για όλα τα x από την δ-περιοχή του σημείου x₀ χωρίς το ίδιο το σημείο πρέπει να ισχύει… κάποια συνθήκη. Προσθέτουμε στο σχήμα την δ-περιοχή του σημείου x₀ χωρίς το ίδιο το σημείο, για παράδειγμα για $\delta =\frac{3}{2}$:

Όλα τα x που βρίσκονται ανάμεσα στις κόκκινες διακεκομμένες γραμμές ανήκουν στην δ-περιοχή του x₀, εκτός από το ίδιο το σημείο x₀. Κοιτάμε ξανά την προηγούμενη συνθήκη:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Για όλα τα x από την δ-περιοχή του σημείου x₀ χωρίς το ίδιο το σημείο πρέπει να ισχύει ότι όλες οι τιμές f(x) βρίσκονται στην ϵ-περιοχή του σημείου L. Παίρνουμε λοιπόν όλα τα x από την δ-περιοχή του x₀ χωρίς το ίδιο το σημείο και υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης. Αυτές οι τιμές παριστάνονται στο επόμενο σχήμα με το μπλε ευθύγραμμο τμήμα:

Το σημείο x₀ δεν ανήκει στην περιοχή, γι' αυτό στο συγκεκριμένο σημείο υπάρχει το κυκλάκι. Ο ορισμός μας λέει ότι για όλα αυτά τα μπλε σημεία πρέπει να ισχύει ότι βρίσκονται στην ϵ-περιοχή του σημείου L. Με τα χρώματα του σχήματος: όλα τα μπλε σημεία πρέπει να βρίσκονται ανάμεσα στις πράσινες γραμμές, που παριστάνουν την ϵ-περιοχή. Ισχύει αυτό;

Φυσικά και δεν ισχύει, για παράδειγμα για $x=\frac{16}{10}$ προκύπτει προφανώς ένα μπλε σημείο που δεν βρίσκεται ανάμεσα στις πράσινες γραμμές, δηλαδή δεν ανήκει στην ϵ-περιοχή του σημείου L.

Αυτό όμως δεν πειράζει, ο ορισμός λέει ότι για κάθε ϵ-περιοχή του σημείου L πρέπει να υπάρχει κάποια δ-περιοχή τέτοια ώστε … να ισχύει το υπόλοιπο της συνθήκης. Αυτό σημαίνει ότι μας αρκεί να υπάρχει μία τέτοια δ-περιοχή. Το $\delta =\frac{3}{2}$ προφανώς δεν ήταν καλή επιλογή, μπορούμε όμως να δοκιμάσουμε άλλο δ, για παράδειγμα $\delta =\frac{1}{2}$. Το σχήμα θα άλλαζε ως εξής:

Ξανακοιτάμε αν όλες οι τιμές της συνάρτησης για όλα τα x από την δ-περιοχή του x₀ χωρίς το ίδιο το σημείο βρίσκονται στην ϵ-περιοχή του σημείου L. Με λίγα λόγια, αν όλα τα μπλε σημεία είναι ανάμεσα στις πράσινες γραμμές. Ναι, τώρα πια είναι, ζήτω.

Σημαίνει αυτό ότι το L είναι το όριο της συνάρτησης στο σημείο x₀; Όχι απαραίτητα, γιατί ο ορισμός λέει ότι (∀ϵ > 0) …. Εμείς ελέγξαμε τον ορισμό μόνο για ένα συγκεκριμένο ϵ, μένουν ακόμη … άπειρα.

Με άλλα λόγια – για να ισχύει πραγματικά ότι $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1$, θα έπρεπε για κάθε ϵ-περιοχή να βρούμε κάποια δ-περιοχή τέτοια ώστε να ισχύει η προηγούμενη συνθήκη. Από το σχήμα βλέπουμε ότι μια τέτοια δ-περιοχή βρίσκεται πάντα, για παράδειγμα αν μειώσουμε το ϵ σε $ϵ=\frac{1}{10}$, τότε μπορούμε να μειώσουμε το δ σε $\delta =\frac{2}{10}$ και θα δουλέψει:

Όσο μικρό κι αν πάρουμε το ϵ, πρέπει πάντα να βρούμε δ τέτοιο ώστε να μπορούμε να φέρουμε τις τιμές της συνάρτησης μέσα στην ϵ-περιοχή του ορίου L της συνάρτησης.

Απόδειξη πεπερασμένου ορίου σε πραγματικό αριθμό

Ας δοκιμάσουμε να αποδείξουμε πραγματικά το προηγούμενο όριο. Από το σχήμα ξέρουμε ήδη ότι μάλλον

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1,$$

τώρα θα προσπαθήσουμε να το αποδείξουμε μαθηματικά. Από το σχήμα θα μπορούσαμε να συμπεράνουμε ότι αν παίρνουμε πάντα για δ την ίδια τιμή που έχει το ϵ, μπορεί να βγει. Θέτουμε λοιπόν δ = ϵ. Τώρα πρέπει να αποδείξουμε

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{για όλα τα}x\in (x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$$

Επειδή θέσαμε δ = ϵ, αλλάζουμε όλα τα δ σε ϵ:

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{για όλα τα}x\in (x_0-ϵ,x_0)\cup (x_0,x_0+ϵ)$$

Αντικαθιστούμε το L με 1 και το x₀ με 3:

$$1-ϵ<f(x)<1+ϵ,\text{για όλα τα}x\in (3-ϵ,3)\cup (3,3+ϵ)$$

Τώρα πρέπει να αποδείξουμε όλες τις ανισότητες. Επειδή η συνάρτηση $\frac{x}{3}$ είναι γνησίως αύξουσα, μας αρκεί να ελέγξουμε τα ακραία σημεία 3 − ϵ και 3 + ϵ. Ξεκινάμε με το 3 − ϵ – αντικαθιστούμε στη συνάρτηση $\frac{x}{3}$ την τιμή 3 − ϵ και δείχνουμε ότι αυτή η τιμή θα ικανοποιεί πάντα τις ανισότητες 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3-ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& -\frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Το ίδιο με το 3 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3+ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& \frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Λανθασμένα προσδιορισμένο όριο

Τώρα θα σχεδιάσουμε και τι θα συνέβαινε αν νομίζαμε ότι το όριο της συνάρτησης όταν το x τείνει στο τρία έχει τιμή ένα δεύτερο. Διαλέγουμε μια μικρή ε-περιοχή:

Και αυτή τη στιγμή δεν μπορούμε πια να βρούμε τέτοια δ-περιοχή του σημείου x₀ ώστε όλες οι τιμές της συνάρτησης να χωράνε ανάμεσα σε αυτές τις πράσινες γραμμές. Βλέπουμε ότι για τη δοσμένη δ-περιοχή όλα τα μπλε σημεία είναι έξω από τις πράσινες γραμμές. Αν μεγαλώναμε τη δ-περιοχή, θα αυξάναμε μόνο τον αριθμό των μπλε σημείων που δεν μπορούμε να φέρουμε ανάμεσα στις πράσινες γραμμές.

Όριο της συνάρτησης πρόσημο

Η συνάρτηση πρόσημο είναι μια όμορφη συνάρτηση που μάλλον θα σε μπερδέψει. Ακολουθεί η γραφική παράσταση:

Η γραφική παράσταση δεν είναι απόλυτα σαφής, γι' αυτό μια περιγραφή με λόγια: αν το x είναι αρνητικό, το πρόσημο είναι μείον ένα, αν είναι θετικό, είναι συν ένα, και αν το x είναι μηδέν, τότε και το πρόσημο είναι μηδέν. Τροποποιούμε τη συνάρτηση με απόλυτη τιμή f(x) = |sgn(x)| και παίρνουμε έτσι |sgn(0)| = 0, ενώ σε όλες τις άλλες περιπτώσεις |sgn(x)| = 1. Γραφική παράσταση:

Το ερώτημα είναι σε τι ισούται αυτό το όριο;

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=?$$

Η συνάρτηση ορίζεται στο σημείο μηδέν και η τιμή της είναι επίσης μηδέν. Αυτό όμως δεν μας λέει ότι και το όριο θα ισούται με μηδέν. Το όριο μπορεί να διαφέρει από την τιμή της συνάρτησης στο δοσμένο σημείο.

Ο μόνος τρόπος να διαλέξουμε το όριο ώστε να ισχύει σωστά ο ορισμός είναι να διαλέξουμε ως όριο το ένα. Μπορούμε να βοηθηθούμε και από τη διαίσθηση: σε τι πλησιάζει η τιμή της συνάρτησης όταν το x πλησιάζει το μηδέν από αριστερά; Πλησιάζει διαρκώς το ένα. Το ότι στο τέλος πηδά στο μηδέν δεν μας πειράζει. Αντίστοιχα για το x που πλησιάζει το μηδέν από δεξιά.

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=1$$

Αν αφήναμε τη συνάρτηση στην αρχική της μορφή, δηλαδή f(x) = sgn(x), τότε η συνάρτηση στο σημείο μηδέν δεν θα έχει όριο, θα έχει δύο διαφορετικά πλευρικά όρια. Από αριστερά η συνάρτηση θα πλησιάζει το μείον ένα και από δεξιά το συν ένα. Μπορείς να δοκιμάσεις να το αποδείξεις σύμφωνα με τον ορισμό.

Όρια που δεν υπάρχουν

Θα δείξουμε ακόμη μερικά παραδείγματα όπου τα όρια δεν υπάρχουν.

Το πιο απλό παράδειγμα ανυπαρξίας ορίου είναι να υπολογίσουμε το όριο σε σημείο που δεν είναι σημείο συσσώρευσης του D_f. Δεν υπάρχει λοιπόν για παράδειγμα το όριο:

$$\underset{x\to -1}{lim}\ln x$$

Γραφική παράσταση:

Οι περιοδικές συναρτήσεις συχνά δεν έχουν όριο στο άπειρο (δεν ισχύει για όλες!). Τυπικά οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, όπως για παράδειγμα το ημίτονο. Ακολουθεί η γραφική παράσταση:

Το όριο στο άπειρο απλώς δεν υπάρχει, η τιμή του ημιτόνου ταλαντώνεται διαρκώς ανάμεσα στο ένα και στο μείον ένα, επομένως το όριο δεν μπορεί να υπολογιστεί.