Εισαγωγικά παραδείγματα παραγώγων

Σε αυτό το άρθρο θα δούμε πρώτα μερικούς χρήσιμους τύπους για την παραγώγιση και στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να λύσουμε παραγώγους κάποιων συναρτήσεων – απλών και πιο δύσκολων. Αν δεν ψάχνεις λυμένα παραδείγματα, αλλά χρειάζεσαι να σου εξηγηθεί ο ορισμός της παραγώγου, πήγαινε στο άρθρο παράγωγος συνάρτησης.

Παράγωγοι πολυωνύμων

Πρώτα θα αναφέρουμε μερικούς τύπους που θα χρειαστούμε για τη λύση παραγώγων συναρτήσεων, που έχουν τη μορφή πολυωνύμου. Στο αριστερό μέρος είναι η στοιχειώδης συνάρτηση που θέλουμε να παραγωγίσουμε και στο δεξί η συνάρτηση που προκύπτει μετά την παραγώγιση. Για πληρότητα: το c είναι σταθερά (στην πρώτη γραμμή έχουμε έτσι σταθερή συνάρτηση) και παραγωγίζουμε ως προς x.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c\cdot x^{c-1}\end{array}$$

Μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα:

$$f(x)=5$$

Αυτή είναι σταθερή συνάρτηση, εφαρμόζουμε έτσι τον πρώτο τύπο και παίρνουμε:

$$f^{\prime }(x)=0.$$

Η γραμμική συνάρτηση f(x) = x έχει σύμφωνα με τον δεύτερο τύπο παράγωγο

$$f^{\prime }(x)=1,$$

και δεν υπάρχει τίποτε άλλο να εξετάσουμε εδώ. Γι' αυτό θα δοκιμάσουμε να παραγωγίσουμε τη συνάρτηση

$$f(x)=x^5.$$

Εφαρμόζουμε τον τελευταίο τύπο, όπου στη θέση του c βάζουμε τον εκθέτη, δηλαδή c = 5.

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=5x^{5-1}=5x^4$$

Ο τύπος θα δούλευε και για αρνητικό εκθέτη, οπότε αν θέλουμε να παραγωγίσουμε τη συνάρτηση

$$f(x)=x^{-7},$$

παίρνουμε:

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=-7x^{-7-1}=-7x^{-8}.$$

Για περαιτέρω παιχνίδια θα χρειαστούμε τύπους για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό συναρτήσεων. Και αν θέλαμε από την παραγωγισμένη συνάρτηση να πάρουμε πίσω την αρχική συνάρτηση, θα χρησιμοποιούσαμε τα ολοκληρώματα.

Παράγωγος αθροίσματος

Αν θέλουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο μιας συνάρτησης που περιέχει κάποιες παραστάσεις σε άθροισμα, απλώς υπολογίζουμε τις παραγώγους των εσωτερικών όρων και προσθέτουμε τα ενδιάμεσα αποτελέσματα. Το γράφουμε έτσι:

$$(f_1(x)+f_2(x){)}^{\prime }=f_1^{\prime }(x)+f_2^{\prime }(x)$$

Ένα απλό παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f(x) = x + 5. Η παράγωγος αυτής της συνάρτησης θα είναι:

$$f^{\prime }(x)=x^{\prime }+5^{\prime }=1+0=1.$$

Αναλύσαμε τη συνάρτηση σε δύο συναρτήσεις, ως εξής:

$$\begin{array}{rcl}{f}_1(x)& =& x\\ f_2(x)& =& 5\end{array}$$

και απλώς αντικαταστήσαμε στον τύπο. Δηλαδή υπολογίσαμε τις παραγώγους των συναρτήσεων f₁ και f₂ και προσθέσαμε τα αποτελέσματα. Ακριβώς το ίδιο ισχύει και για την αφαίρεση. Ένα πιο δύσκολο παράδειγμα:

$$f(x)=x^3+x-8$$

Πάλι απλώς παραγωγίζουμε τους τρεις όρους ξεχωριστά και τους αφήνουμε στο άθροισμα:

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }+x^{\prime }-8^{\prime }=3x^2+1+0$$

Παράγωγος γινομένου

Το γινόμενο δυστυχώς δεν λύνεται τόσο απλά όσο η συνηθισμένη πρόσθεση, για το γινόμενο δύο συναρτήσεων πρέπει να χρησιμοποιήσουμε έναν ελαφρώς περίπλοκο τύπο:

$$(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$$

Μια τετριμμένη συνάρτηση που περιέχει πολλαπλασιασμό είναι για παράδειγμα η συνάρτηση

$$s(x)=5\cdot x^2$$

Στον τύπο για τον πολλαπλασιασμό έχουμε δύο συναρτήσεις, αυτές τις παίρνουμε από τη μία αυτή συνάρτηση s(x) ως εξής: f(x) = 5 και g(x) = x². Τώρα απλώς αντικαθιστούμε εύκολα:

$$s^{\prime }(x)=5^{\prime }\cdot x^2+5\cdot (x^2{)}^{\prime }=0\cdot x^2+5\cdot 2x=10x$$

Βλέπουμε ότι αν έχουμε συνάρτηση της μορφής

$$f(x)=a\cdot x^c,$$

τότε μετά την παραγώγιση παίρνουμε

$$(a\cdot x^c{)}^{\prime }=a\cdot (x^c{)}^{\prime }=a\cdot c\cdot x^{c-1}.$$

Αυτόν τον κανόνα μπορούμε να τον γενικεύσουμε και αντί για πολυώνυμο να βάλουμε οποιαδήποτε συνάρτηση. Άρα για οποιαδήποτε συνάρτηση f(x) ισχύει

$$(a\cdot f(x){)}^{\prime }=a\cdot f^{\prime }(x).$$

Ας δοκιμάσουμε λοιπόν για παράδειγμα να παραγωγίσουμε αυτή τη συνάρτηση:

$$f(x)=5x^3-7x^2+10$$

Στην αρχή της παραγώγισης εφαρμόζουμε πρώτα τον κανόνα του αθροίσματος:

$$f^{\prime }(x)=(5x^3{)}^{\prime }-(7x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Τις παραστάσεις στο γινόμενο τις γράφουμε σύμφωνα με τον τελευταίο τύπο που αναφέραμε:

$$=5(x^3{)}^{\prime }-7(x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Παραγωγίζουμε τις παραστάσεις στην παρένθεση σύμφωνα με τον κανόνα παραγώγισης του x^c.

$$=5\cdot 3x^2-7\cdot 2x+0=$$

Και στο τέλος απλώς πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές:

$$=15x^2-14x.$$

Παράγωγος πηλίκου

Η παράγωγος πηλίκου είναι πάλι λίγο πιο περίπλοκη από την παράγωγο γινομένου. Ο τύπος:

$${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$$

Κατά τα άλλα όμως η διαδικασία είναι ανάλογη με το γινόμενο. Οπότε αμέσως ένα παράδειγμα:

$${\left(\frac{x^2+3x+1}{2x-1}\right)}^{\prime }=$$

Ο αριθμητής του κλάσματος παριστάνει τη συνάρτηση f(x), ο παρονομαστής τη συνάρτηση g(x). Και τώρα απλώς αντικαθιστούμε στον τύπο:

$$=\frac{(x^2+3x+1{)}^{\prime }(2x-1)-(x^2+3x+1)(2x-1{)}^{\prime }}{(2x-1{)}^2}=$$

Στον παρονομαστή έχουμε το τετράγωνο του παρονομαστή και στον αριθμητή το κλάσμα γραμμένο σύμφωνα με τον τύπο. Τώρα παραγωγίζουμε την πρώτη και την τελευταία παρένθεση. Και εκεί έχουμε τον κανόνα του αθροίσματος, αυτόν θα τον προσπεράσω και θα γράψω κατευθείαν το αποτέλεσμα:

$$=\frac{(2x+3)(2x-1)-2(x^2+3x+1)}{(2x-1{)}^2}=\dots$$

Αυτή την παράσταση μπορούμε ακόμη να την απλοποιήσουμε κάπως, αλλά αυτό δεν είναι πλέον ουσιώδες σε αυτό το κεφάλαιο.

Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων

Τώρα θα παραθέσουμε, χωρίς περαιτέρω εξαγωγή, κάποιους τύπους για τον υπολογισμό της παραγώγου συνηθισμένων συναρτήσεων.

Δυνάμεις και λογάριθμοι:

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{a}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln a};a>0\wedge a\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Πρόσεξε ότι η παράγωγος της συνάρτησης e^x είναι πάλι e^x, αυτό δεν είναι τυπογραφικό λάθος, αλλά μια ωραία ιδιότητα, που έγινε η βάση για πάρα πολλά αστεία.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

$$\begin{array}{rcl}(\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x{)}^{\prime }& =& \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x\\ (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x{)}^{\prime }& =& -\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x\\ (\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}x}\\ (\mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }}^{2}x}\end{array}$$

Ένα απλό παράδειγμα:

$$(3\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x+2\ln x{)}^{\prime }=$$

Και οι δύο παραστάσεις είναι σε άθροισμα, οπότε αρκεί να προσθέσουμε τις παραγώγους των δύο δεδομένων παραστάσεων. Κάθε παράσταση περιέχει στην αρχή μια σταθερά που πολλαπλασιάζει τη συνάρτηση μετά από αυτήν – ξέρουμε ότι αυτή τη στιγμή αρκεί να παραγωγίσουμε τη συνάρτηση και να μην αλλάξουμε τη σταθερά. Το κάνουμε:

$$=3(\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x{)}^{\prime }+2(\ln x{)}^{\prime }=$$

Αυτές είναι πια τιμές από τον πίνακα:

$$=3\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x+2\frac{1}{x}=3\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x+\frac{2}{x}.$$

Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης

Από τις ιδιότητες της παραγώγου και από την εφαρμογή της στη μελέτη συνάρτησης ξέρουμε ότι υπό ορισμένες προϋποθέσεις μπορούμε να έχουμε δύο συναρτήσεις που είναι παραγωγίσιμες και με τη σύνθεσή τους να παίρνουμε πάλι συνάρτηση που είναι παραγωγίσιμη. Θα δούμε πώς υπολογίζεται η παράγωγος μιας τέτοιας σύνθετης συνάρτησης.

Η παράγωγος σύνθετης συνάρτησης είναι μάλλον η δυσκολότερη έννοια από αυτές τις βασικές παραγώγους. Τις συναρτήσεις ως τέτοιες μπορούμε να τις συνθέτουμε. Τι είναι η σύνθεση συναρτήσεων μπορείς να διαβάσεις αναλυτικότερα στα άρθρα Τι είναι η συνάρτηση ή Πεδίο ορισμού συνάρτησης. Χονδρικά σημαίνει ότι ως όρισμα μιας συνάρτησης δίνουμε μια άλλη συνάρτηση. Η συμβολική γραφή θα ήταν έτσι h(g(x)). Μια συγκεκριμένη συνάρτηση μπορεί να είναι για παράδειγμα

$$f(x)=\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(2x).$$

Ποιες δύο συναρτήσεις υπάρχουν εκεί; Το ημίτονο και μετά η εσωτερική συνάρτηση 2x. Σε αυτή τη συνάρτηση f δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε απλώς τον γενικό τύπο για το ημ(x), επειδή αυτός προϋποθέτει ότι στο όρισμα θα πάρει x, όχι 2x. Ο υπολογισμός της παραγώγου σύνθετης συνάρτησης γίνεται λοιπόν ως εξής:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Δηλαδή παραγωγίζουμε την εξωτερική συνάρτηση και αφήνουμε το ίδιο όρισμα και το πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης. Στην περίπτωση αυτού του παραδείγματος με το ημίτονο θα ίσχυε:

$$(\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(2x){)}^{\prime }={\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }}^{\prime }(2x)\cdot (2x{)}^{\prime }=$$

Ο τόνος μόνο πάνω από το ημίτονο σημαίνει ότι παραγωγίζουμε μόνο το ίδιο το ημίτονο, δεν παραγωγίζουμε ολόκληρη την παράσταση όπως στην παράσταση στο αριστερό μέρος της εξίσωσης. Η παράγωγος του ημιτόνου είναι το συνημίτονο, οπότε αντί για το ημίτονο γράφουμε απλώς το συνημίτονο. Και η παράγωγος του 2x είναι 2:

$$=\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(2x)\cdot 2=2\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(2x).$$

Ένα ακόμη παράδειγμα, λίγο πιο δύσκολο.

$$(\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(\ln x^2){)}^{\prime }=$$

Εδώ έχουμε μία ακόμη εσωτερική συνάρτηση. Η εξωτερική συνάρτηση είναι το συνημίτονο, η μεσαία είναι ο λογάριθμος και η πιο εσωτερική είναι η δύναμη x². Προχωράμε όμως πάλι σύμφωνα με τον τύπο. Το γράφουμε αναλυτικά:

$$={\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{\prime }(\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Παραγωγίζουμε μόνο το συνημίτονο, το όρισμα του συνημιτόνου το αφήνουμε όπως είναι, δηλαδή αφήνουμε εκεί ολόκληρο τον λογάριθμο. Ολόκληρη αυτή την παράσταση την πολλαπλασιάζουμε ακόμη με την παράγωγο του ορίσματος, δηλαδή με την παράγωγο του λογαρίθμου. Παραγωγίζουμε το συνημίτονο και έχουμε:

$$=-\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Η παράσταση δεξιά δεν άλλαξε, απλώς παραγωγίσαμε το συνημίτονο. Τώρα καταπιανόμαστε με την παράγωγο του λογαρίθμου. Πάλι είναι σύνθετη συνάρτηση, οπότε εφαρμόζουμε αναδρομικά τον τύπο για σύνθετη συνάρτηση. Την αριστερή παράσταση απλώς την αντιγράφουμε:

$$=-\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\ln x^2)\cdot {\ln }^{\prime }{x}^2\cdot (x^2{)}^{\prime }=$$

Παραγωγίζουμε τον λογάριθμο και του αφήνουμε το ίδιο όρισμα, δηλαδή x². Ολόκληρη όμως την παράσταση την πολλαπλασιάζουμε ακόμη με την παράγωγο του ορίσματος, δηλαδή με την παράγωγο ακριβώς του x². Η παράγωγος του λογαρίθμου είναι το κλάσμα 1/x, όπου στη θέση του x βάζουμε το όρισμά μας x² και η παράγωγος του x² είναι 2x.

$$=-\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\ln x^2)\cdot \frac{1}{x^2}2x=-\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\ln x^2)\cdot \frac{2}{x}=-\frac{2\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(\ln x^2)}{x}.$$