Προχωρημένα παραδείγματα παραγώγων

Μερικά παραδείγματα για πιο δύσκολες παραγώγους από τη βασική δουλειά με τους τύπους. Αν χρειάζεσαι να σου εξηγηθεί ο ορισμός της παραγώγου, πήγαινε στο άρθρο παράγωγος συνάρτησης.

Πρώτο παράδειγμα

Θα ξεκινήσουμε με κάτι που δεν είναι ακόμη πολύ δύσκολο.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Από τους τύπους παραγώγων συναρτήσεων ξέρουμε ότι η παράγωγος της συνάρτησης e^x είναι πάλι e^x. Δυστυχώς αυτή την απλή διαδικασία δεν μπορούμε να την εφαρμόσουμε εδώ απευθείας, επειδή στον εκθέτη δεν βρίσκεται μόνο το x, αλλά το −x, οπότε πρέπει να χειριστούμε τη δεδομένη συνάρτηση ως σύνθετη συνάρτηση. Στο πρώτο βήμα μας περιμένει πάντως η ανάλυση με τον τύπο για το γινόμενο.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Το αριστερό πολυώνυμο το παραγωγίζουμε με τον κλασικό τύπο, τα υπόλοιπα τα αφήνουμε ίδια:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Τώρα πρέπει να παραγωγίσουμε την τελευταία συνάρτηση. Όπως είπαμε ήδη, είναι σύνθετη συνάρτηση και έτσι πρέπει να την παραγωγίσουμε σύμφωνα με τον κανόνα για τις σύνθετες συναρτήσεις:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Η παράγωγος της συνάρτησής μας θα έμοιαζε λοιπόν έτσι:

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

Η παράσταση e^−x μένει ίδια, επειδή η παράγωγος του e^x είναι πάλι e^x και στο πρώτο βήμα του τύπου παραγωγίζουμε την εξωτερική συνάρτηση και την εσωτερική την αφήνουμε απαράγωγη. Στο δεύτερο βήμα πολλαπλασιάζουμε το ενδιάμεσο αποτέλεσμά μας με την παράγωγο του ορίσματος της συνάρτησης, που είναι η συνάρτηση −x. Η παράγωγος της συνάρτησης −x είναι −1. Τώρα απλώς αντικαθιστούμε το αποτέλεσμά μας στην προηγούμενη παράσταση:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Δεύτερο παράδειγμα

Εκφώνηση του δεύτερου παραδείγματος:

$$f(x)=\frac{\ln (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x)}{\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }x}$$

Εδώ έχουμε κλάσμα, στον αριθμητή είναι μία συνάρτηση και στον παρονομαστή μια άλλη συνάρτηση. Στο πρώτο βήμα λοιπόν θα παραγωγίσουμε σύμφωνα με τον τύπο για τη διαίρεση. Μετά την εφαρμογή του τύπου παίρνουμε:

$$\frac{(\ln (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x){)}^{\prime }\cdot \mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }x-\ln (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x)\cdot (\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }x{)}^{\prime }}{{\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }}^{2}x}$$

Θα το πάρουμε από το τέλος, θα παραγωγίσουμε πρώτα την εφαπτομένη, επειδή μπορούμε να την παραγωγίσουμε απλά με τον βασικό τύπο. Ισχύει ότι

$$(\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}x}.$$

Μετά την εφαρμογή αυτού του τύπου στον αριθμητή του κλάσματος παίρνουμε

$$\frac{(\ln (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x){)}^{\prime }\cdot \mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }x-\ln (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x)\cdot \frac{1}{{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}x}}{{\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }}^{2}x}$$

Τώρα πρέπει να παραγωγίσουμε τον λογάριθμο. Δυστυχώς μέσα στον λογάριθμο έχουμε μια ακόμη εσωτερική συνάρτηση, οπότε παίρνουμε σύνθετη συνάρτηση και έτσι πρέπει να παραγωγίσουμε τον λογάριθμο πιο περίπλοκα, ως σύνθετη συνάρτηση. Η παράγωγος του ίδιου του λογαρίθμου είναι 1/x, όπου όμως στη θέση του x βάζουμε το όρισμα του λογαρίθμου, δηλαδή το συνημίτονο. Στη συνέχεια πρέπει ακόμη να πολλαπλασιάσουμε με την παράγωγο του ορίσματος, δηλαδή με την παράγωγο του συνημιτόνου. Η παράγωγος του λογαρίθμου θα έμοιαζε λοιπόν έτσι:

$$(\ln (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x){)}^{\prime }=\frac{1}{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x}\cdot (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x}\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x=-\frac{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x}{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x}$$

Πήραμε ένα αρκετά όμορφο κλάσμα. Αν θυμάσαι καλά την τριγωνομετρία, ξέρεις ότι αυτό το κλάσμα ισούται με την εφαπτομένη. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε ότι όλο αυτό ισούται με μείον εφαπτομένη:

$$(\ln (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x){)}^{\prime }=-\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }x$$

Το αντικαθιστούμε έτσι στο προηγούμενο αποτέλεσμα:

$$=\frac{(\ln (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x){)}^{\prime }\cdot \mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }x-\ln (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x)\cdot \frac{1}{{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}x}}{{\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }}^{2}x}=\frac{-\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }x\cdot \mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }x-\ln (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x)\cdot \frac{1}{{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}x}}{{\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }}^{2}x}=$$

Στον αριθμητή έχουμε δύο φορές την εφαπτομένη, οπότε μπορούμε απλά να την υψώσουμε στο τετράγωνο. Τον λογάριθμο μπορούμε να τον μεταφέρουμε στον αριθμητή του επόμενου κλάσματος.

$$=\frac{-{\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }}^{2}x-\frac{\ln (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x)}{{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}x}}{{\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }}^{2}x}=$$

Τώρα μπορούμε να χωρίσουμε τον αριθμητή και να πάρουμε δύο κλάσματα

$$=-\frac{{\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }}^{2}x}{{\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }}^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x)}{{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}x}}{{\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }}^{2}x}=$$

Στο πρώτο κλάσμα ο αριθμητής ισούται με τον παρονομαστή, οπότε παίρνουμε ένα. Στο δεύτερο κλάσμα μπορούμε να απαλλαγούμε από το κλάσμα στον αριθμητή, αν πολλαπλασιάσουμε αριθμητή και παρονομαστή με την παράσταση συν² x.

$$=-1-\frac{\ln (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x)}{{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}x\cdot {\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }}^{2}x}=$$

Την εφαπτομένη μπορούμε τώρα να την αναλύσουμε στο πηλίκο ημ(x)/συν(x). Επειδή όμως έχουμε την εφαπτομένη στο τετράγωνο, παίρνουμε και στο κλάσμα αριθμητή και παρονομαστή στο τετράγωνο. Μετά μπορούμε αμέσως να απλοποιήσουμε το συν² x.

$$=-1-\frac{\ln (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x)}{{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}x\frac{{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }}^{2}x}{{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}x}}=-\frac{\ln (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x)}{{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }}^{2}x}-1.$$

Αυτό είναι το τελικό αποτέλεσμα της παραγώγου.

Τρίτο παράδειγμα

Υπολόγισε την παράγωγο της συνάρτησης

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Αν δεν φαίνεται καθαρά – όλα είναι εκθέτες, δηλαδή «x στη δύναμη x στη δύναμη ένα δεύτερο». Στο πρώτο βήμα κάνουμε πρώτα μια μετατροπή σύμφωνα με τον τύπο:

$$x=e^{\ln x}$$

Με αυτόν τον τύπο αναλύουμε το πρώτο x στο παράδειγμά μας:

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Τώρα εφαρμόζουμε τον τύπο για τη δουλειά με δυνάμεις:

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

Αφαιρούμε τις παρενθέσεις και βάζουμε στο γινόμενο τον ψηλότερο εκθέτη με τον λογάριθμο:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Τώρα έχουμε τη συνάρτηση σε μορφή στην οποία θα παραγωγίζεται πιο εύκολα. Πρόκειται για σύνθετη συνάρτηση και ως τέτοια θα την παραγωγίσουμε. Η πρώτη συνάρτηση είναι η e^x, όπου στη θέση του x βάζουμε ολόκληρο τον εκθέτη και η δεύτερη συνάρτηση είναι στον εκθέτη. Με την ανάλυση λοιπόν παίρνουμε:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

Την παρένθεση θα την παραγωγίσουμε ως γινόμενο, οπότε εφαρμόζουμε τον τύπο για το γινόμενο.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Η παράγωγος του λογαρίθμου είναι 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Τώρα παραγωγίζουμε τη δεύτερη παράσταση, σύμφωνα με τον κλασικό τύπο για την παραγώγιση δυναμοσυναρτήσεων. Ισχύει λοιπόν:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Αντικαθιστούμε αυτό το αποτέλεσμα στον υπολογισμό μας:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Μπορούμε ακόμη να απλοποιήσουμε το πρώτο γινόμενο, πάλι με τους τύπους που δουλεύουν με δυνάμεις:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Ξαναγράφουμε την προηγούμενη παράσταση με τον υπολογισμό που μόλις κάναμε:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Και τελικά μεταφέρουμε τον λογάριθμο στον αριθμητή του κλάσματος:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Στο πρώτο κλάσμα μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε αριθμητή και παρονομαστή με το δύο και τα κλάσματα μπορούμε τότε να τα προσθέσουμε:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Τώρα μπορούμε πια να επιστρέψουμε σε ολόκληρη την παράγωγο:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Αντικαθιστούμε πάλι το e^{ln x} με x:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Έτσι πήραμε το τελικό αποτέλεσμα.