Μελέτη συνάρτησης

Όταν μελετάμε μια συνάρτηση, προσπαθούμε να μάθουμε όσο το δυνατόν περισσότερα για τη συμπεριφορά της. Μας ενδιαφέρουν πράγματα όπως η μονοτονία, δηλαδή αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα και σε ποια διαστήματα είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα. Επίσης μας ενδιαφέρουν τα ακρότατα της συνάρτησης – τα ελάχιστα και τα μέγιστα.

Διαδικασία

Αρχικά έχουμε μια συνάρτηση f, που τη δίνει συνήθως ένας τύπος, όπως f(x) = x². Στόχος μας είναι να βρούμε για τη συνάρτηση αυτή όσο το δυνατόν περισσότερες πληροφορίες. Συνήθως βρίσκουμε:

1. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και το σύνολο τιμών της συνάρτησης.
2. Ελέγχουμε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή
3. Εξετάζουμε αν η συνάρτηση είναι φραγμένη.
4. Υπολογίζουμε τα σημεία τομής με τον άξονα x'x και με τον άξονα y'y. Τα βρίσκουμε εύκολα: αντικαθιστούμε το x με μηδέν και υπολογίζουμε το f(0). Έτσι παίρνουμε το σημείο τομής με τον άξονα y'y. Τα σημεία τομής με τον άξονα x'x τα βρίσκουμε αν θέσουμε ολόκληρη τη συνάρτηση ίση με το μηδέν, f(x) = 0, και βρούμε όλες τις ρίζες της εξίσωσης.
5. Βρίσκουμε τα ακρότατα της συνάρτησης και εξετάζουμε τη μονοτονία της συνάρτησης.
6. Βρίσκουμε τα σημεία καμπής και τα διαστήματα κυρτότητας και κοιλότητας