Ολοκλήρωμα

Η διαδικασία της ολοκλήρωσης μιας συνάρτησης είναι αντίστροφη προς τη διαδικασία της παραγώγισης.

Παράγουσα συνάρτηση

Ξεκινάμε με μια εύκολη άσκηση. Έστω η συνάρτηση f(x) = 2x. Ας βρούμε τώρα μια συνάρτηση F, που μετά την παραγώγιση θα είναι ίση με τη συνάρτηση f. Τυπικά γραμμένο, ψάχνουμε συνάρτηση F τέτοια ώστε να ισχύει F′ = f.

Από τους βασικούς τύπους για τον υπολογισμό παραγώγων ξέρουμε ότι είναι η συνάρτηση F(x) = x². Η παράγωγος της συνάρτησης x² είναι ακριβώς 2x. Το ερώτημα είναι αν αυτή η συνάρτηση είναι η μοναδική που ικανοποιεί τη συνθήκη.

Η απάντηση είναι ότι δεν είναι – αν στη συνάρτηση x² προσθέσουμε οποιαδήποτε πραγματική σταθερά, μετά την παραγώγιση παίρνουμε πάλι τη συνάρτηση 2x, επειδή η παράγωγος της σταθεράς είναι μηδέν. Οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής x² + c, όπου c είναι πραγματική σταθερά, μπορεί να θεωρηθεί η συνάρτηση F που ψάχνουμε.

Μπορούμε να γενικεύσουμε αυτή την άσκηση. Έστω μια πραγματική συνάρτηση f και ας βρούμε συνάρτηση F για την οποία ισχύει F′(x) = f(x) για κάθε x από το D_f, ή από κάποιο διάστημα του πεδίου ορισμού. Αυτή η συνάρτηση δεν χρειάζεται να είναι μονοσήμαντα ορισμένη, από την άλλη όμως μπορεί και να μην υπάρχει καθόλου.

Τη συνάρτηση F την ονομάζουμε παράγουσα συνάρτηση της συνάρτησης f. Γράφουμε:

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

Η συνάρτηση f λέγεται ολοκληρωτέα συνάρτηση, η διαδικασία εύρεσης παράγουσας λέγεται ολοκλήρωση. Το dx δείχνει ως προς ποια μεταβλητή ολοκληρώνουμε. Αν γράψουμε το παράδειγμα ως εξής

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

θέλουμε να βρούμε παράγουσα της συνάρτησης 4x³, ολοκληρώνοντας ως προς τη μεταβλητή x. Αποτέλεσμα μπορεί να είναι η συνάρτηση x⁴, που μετά την παραγώγιση είναι ίση ακριβώς με 4x³. Φυσικά σε αυτή τη συνάρτηση μπορούμε να προσθέσουμε οποιαδήποτε πραγματική σταθερά.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι η παράγουσα συνάρτηση είτε δεν υπάρχει, είτε είναι πάντα της μορφής F(x) + c, όπου c είναι κάποια πραγματική σταθερά – και τότε υπάρχουν άπειρες, επειδή έχουμε άπειρες πραγματικές σταθερές. Αν λοιπόν βρούμε μια συνάρτηση F(x), μπορούμε να παράγουμε όλες τις παράγουσες. Ταυτόχρονα ισχύει ότι καμία άλλη συνάρτηση, που δεν θα παραγάγαμε με αυτόν τον τρόπο, δεν είναι παράγουσα της συνάρτησης που ψάχνουμε.

Λίγα λόγια ακόμα για το dx. Φαίνεται πολύ μυστηριώδες, αλλά πραγματικά απλώς δείχνει ως προς ποια μεταβλητή ολοκληρώνουμε. Αν για παράδειγμα έχουμε το ολοκλήρωμα

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

σημαίνει ότι ολοκληρώνουμε ως προς τη μεταβλητή b και τα υπόλοιπα γράμματα a και c συμπεριφέρονται σαν σταθερές. Δηλαδή συμπεριφέρονται όπως θα συμπεριφέρονταν αν στη θέση τους υπήρχαν αριθμοί.

Ολοκλήρωση στοιχειωδών συναρτήσεων

Μπορούμε εύκολα να εξαγάγουμε τύπους για τον υπολογισμό παραγουσών κάποιων στοιχειωδών συναρτήσεων. Σε όλο το κεφάλαιο υποθέτουμε ότι c ∈ ℝ.

Ξεκινάμε με τη συνάρτηση f(x) = 0, τη μηδενική συνάρτηση. Ποια συνάρτηση θα είναι μετά την παραγώγιση ίση με μηδέν; Οποιαδήποτε συνάρτηση περιέχει μόνο σταθερά:

$$\int 0\text{ d}x=c$$

Στη συνέχεια η συνάρτηση f(x) = 1. Ισχύει x′ = 1, οπότε το ολοκλήρωμα της μονάδας θα είναι ίσο με

$$\int 1\text{ d}x=x+c$$

Επόμενη στη σειρά είναι η συνάρτηση f(x) = x. Ποια συνάρτηση πρέπει να παραγωγίσουμε, για να πάρουμε ως αποτέλεσμα x; Αν παραγωγίσουμε το x², παίρνουμε 2x. Σχεδόν φτάσαμε εκεί που θέλαμε. Αρκεί να διαιρέσουμε με το δύο. Αν λοιπόν παραγωγίσουμε το (x²)/2, παίρνουμε ακριβώς x.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Αν το γενικεύσουμε στη συνάρτηση xⁿ, όπου n ∈ ℝ, παίρνουμε τον τύπο:

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

Πρόσεξε ότι αυτός ο τύπος δεν ισχύει για n = −1, επειδή θα διαιρούσαμε με το μηδέν και αυτό δεν γίνεται, δεν είναι ωραίο. Αν λοιπόν έχουμε n = −1, παίρνουμε τη συνάρτηση f(x) = x⁻¹, που είναι η συνάρτηση 1/x. Ποια συνάρτηση πρέπει να παραγωγίσουμε, για να πάρουμε 1/x; Είναι ο λογάριθμος.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+c$$

Το πρόβλημα είναι ότι ο λογάριθμος ορίζεται μόνο για θετικούς πραγματικούς αριθμούς, οπότε ο τύπος αυτός δεν ισχύει για κάθε x από το D_f. Ισχύει όμως για το διάστημα (0, +∞). Για το διάστημα (−∞, 0) απλώς αλλάζουμε το πρόσημο στο όρισμα του λογαρίθμου: ln(−x). Αν τα συνδυάσουμε, μπορούμε να γράψουμε

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+c$$

Αυτός ο τύπος ισχύει για κάθε x ∈ D_f. Άλλα ολοκληρώματα, για παράδειγμα για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, θα βρεις στον ακόλουθο πίνακα:

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+c\text{για }a>0,a\ne 1\\ \int \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x\text{ d}x& =& -\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x+c\\ \int \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x\text{ d}x& =& \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x+c\end{array}$$

Ολοκλήρωμα αθροίσματος

Ενώ ο υπολογισμός των παραγώγων μιας συνάρτησης είναι συνήθως σχετικά απλός και – όπως λέγεται – μπορεί να τον κάνει ακόμα και μια εκπαιδευμένη μαϊμού, αφού συνήθως ακολουθούμε απευθείας τους τύπους, στα ολοκληρώματα η κατάσταση είναι διαφορετική. Οι μέθοδοι υπολογισμού ολοκληρωμάτων είναι σχετικά πιο περίπλοκες, γι' αυτό η εύρεση ολοκληρώματος είναι πολύ πιο δύσκολη από τον υπολογισμό παραγώγου. Οφείλεται κυρίως στο ότι έχουμε μεν τον αναμενόμενο τύπο για το ολοκλήρωμα αθροίσματος, αλλά όχι για το ολοκλήρωμα γινομένου.

Ας δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε αυτό το ολοκλήρωμα:

$$\int x+1\text{ d}x$$

Πώς θα μπορούσαμε να το υπολογίσουμε; Χρειαζόμαστε μια συνάρτηση που μετά την παραγώγιση δίνει x και μετά μια άλλη συνάρτηση που δίνει 1. Από τους τύπους ξέρουμε ήδη ότι πρόκειται για τις συναρτήσεις (x²)/2 και x. Αν προσθέσουμε αυτές τις συναρτήσεις, παίρνουμε f(x) = (x²)/2 + x. Μετά την παραγώγιση αυτής της συνάρτησης παίρνουμε x + 1. Έτσι πήραμε το αποτέλεσμα:

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+c$$

Κατά τον υπολογισμό χρησιμοποιήσαμε μία ιδιότητα – το ολοκλήρωμα αθροίσματος είναι ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων. Δηλαδή

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

Ισχύει ταυτόχρονα και για την αφαίρεση:

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

Γι' αυτό μπορέσαμε να γράψουμε το προηγούμενο παράδειγμα ως εξής:

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

Σταθερός παράγοντας μπροστά από το ολοκλήρωμα

Παρόμοια πρόταση ισχύει και για τη σταθερά, που μπορούμε να τη βγάλουμε μπροστά από το ολοκλήρωμα. Αν έχουμε ολοκλήρωμα της μορφής:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

όπου a είναι κάποια πραγματική σταθερά, μπορούμε να βγάλουμε αυτή τη σταθερά μπροστά από το ολοκλήρωμα:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

Παράδειγμα

Υπολόγισε το ολοκλήρωμα:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

Στο πρώτο βήμα το χωρίζουμε σε τρία ολοκληρώματα:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

Τα ολοκληρώματα θα τα λύσουμε διαδοχικά. Το πρώτο ολοκλήρωμα μπορούμε να το λύσουμε απευθείας με τον τύπο για τις δυνάμεις xⁿ:

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+c$$

Στο δεύτερο ολοκλήρωμα βγάζουμε πρώτα το έξι:

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

Το ολοκλήρωμα του x είναι πάλι τιμή από τον πίνακα, είναι ίσο με (x²)/2. Έτσι παίρνουμε:

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+c$$

Και στο τελευταίο ολοκλήρωμα βγάζουμε πρώτα το 42:

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

Και αυτό είναι πάλι τιμή από τον πίνακα:

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+c$$

Αυτά τα επιμέρους ολοκληρώματα τα προσθέτουμε και έχουμε το αποτέλεσμα:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c$$

Μια ακόμα παρατήρηση – σε κάθε επιμέρους ολοκλήρωμα πήραμε σταθερά c, οπότε κατά την πρόσθεση θα έπρεπε να γράψουμε στο αποτέλεσμα +3c αντί για +c. Ωστόσο το c είναι οποιαδήποτε πραγματική σταθερά, οπότε το 3c θα είναι ίσο πάλι με κάποιον πραγματικό αριθμό. Θα μπορούσαμε να αντικαταστήσουμε το c στα επιμέρους ολοκληρώματα με c₁, c₂, c₃ και μετά να πούμε ότι c = c₁ + c₂ + c₃.